Terdapat sebuah sistem yang terdiri dari partikel titik bermassa $m$, wadah bermassa $m_0$ berbentuk kotak dengan bagian atasnya tercoak berbentuk rongga setengah bola dengan jejari $r_0$, dan lantai mendatar. Antar partikel, wadah, dan lantai tidak terdapat gesekan atau $\mu_k = \mu_s = 0$. Gerak massa $m$ di dalam wadah setengah bola dapat dianggap murni gerak dua-dimensi pada bidang $xy$ dengan percepatan gravitasi $\vec{g} = -g\hat{y}$. Posisi angular $\theta$ diukur terhadap pusat rongga dan arah percepatan gravitasi $\vec{g}$. Posisi kotak berongga adalah $x$. Saat $t = 0$ posisi benda titik dan kotak berongga adalah $\theta(0) = \frac12 \pi$ dan $x(0) = 0$, berturut-turut. Titik $\rm O$ merupakan titik terendah partikel pada lintasan berbentuk setengah bola.
Pada arah $x$ tidak terdapat gaya luar sehingga berlaku hukum kekekalan momentum sehingga pusat massa
\begin{equation}\label{eqn:0051-1}
m r_0 \dot{\theta} + m_0 \dot{x} = \dot{c}
\end{equation}
dengan $\dot{c}$ adalah suatu nilai konstan atau $\ddot{c} = 0$. Dengan melakukan integrasi terhadap waktu pada kedua ruas Persamaan \eqref{eqn:0051-1} dapat diperoleh
\begin{equation}\label{eqn:0051-2}
m r_0 \theta + m_0 x = c,
\end{equation}
yang dengan syarat awal yang diberikan akan menghasilkan
\begin{equation}\label{eqn:0051-3}
c = \frac12 m r_0 \pi.
\end{equation}
Substitusi Persamaan \eqref{eqn:0051-3} ke \eqref{eqn:0051-1} akan memberikan
\begin{equation}\label{eqn:0051-4}
\dot{\theta} = -\frac{m_0}{m} \frac{\dot{x}}{r_0},
\end{equation}
yang menggambarkan hubungan antara $m$ dan $m_0$. Pada point $\rm O$ partikel akan memiliki $\theta = 0$ sehingga dari Persamaan \eqref{eqn:0051-2} dan \eqref{eqn:0051-3} diperoleh
\begin{equation}\label{eqn:0051-5}
x_{\rm O} = \frac12 \frac{m}{m_0} r_0 \pi.
\end{equation}
Selanjutnya, dikarenakan tidak terdapat gesekan maka hukum kekekalan energi mekanik akan berlaku sehingga dapat dituliskan bahwa
\begin{equation}\label{eqn:0051-6}
m g r_0 = \frac12 m (r_0 \dot\theta)^2 + \frac12 m_0 \dot{x}^2
\end{equation}
Substitusi Persamaan \eqref{eqn:0051-4} ke Persamaan \eqref{eqn:0051-6} akan menghasilkan
\begin{equation}\label{eqn:0051-7}
\dot{x} = \sqrt{ 2 g r_0 \left( \frac{m^2}{m_0^2 + m^2} \right)}
\end{equation}
dan dapat pula diperoleh
\begin{equation}\label{eqn:0051-8}
\dot{\theta} = -\frac{1}{r_0} \sqrt{ 2 g r_0 \left( \frac{m_0^2}{m_0^2 + m^2} \right)},
\end{equation}
yang keduanya menggambarkan kecepatan linier kotak berongga bermassa $m_0$ dan kecepatan angular partikel bermassa $m$ saat melewati titik $\rm O$ pada Persamaan \eqref{eqn:0051-5}. Mengingat nilai awal $\theta(0) = \frac12 \pi$ maka nilai ini merupakan nilai maksimum dan minimum dari $\theta$ atau
\begin{equation}\label{eqn:0051-9}
-\frac12 \pi \le \theta \le \frac12 \pi.
\end{equation}
Dengan menggunakan Persamaan
\eqref{eqn:0051-2} dan \eqref{eqn:0051-3} dapat diperoleh
\begin{equation}\label{eqn:0051-a}
0 \le x \le \frac{m}{m_0} r_0 \pi,
\end{equation}
yang merupakan batasan dari $x$. Telaah lebih lanjut dari Persamaan \eqref{eqn:0051-9} dan \eqref{eqn:0051-a} akan menghasilkan osilasi pada $x$ dan $\theta$.
Pada benda bermassa $m$ bekerja gaya yang merupakan fungsi posisi dalam bentuk $\vec{F}(x, y, z) = F_x \hat{x} + F_y \hat{y} + F_z \hat{z}$ dengan $F_x = axy^2 - 2z^2$, $F_y = 2x^2y$, dan $F_z = bxz$.
Agar dapat menjadi gaya konservatif maka diperlukan syarat bahwa
\begin{equation}\label{eqn:0051-b}
\vec{\nabla} \times \vec{F} = 0
\end{equation}
atau
\begin{equation}\label{eqn:0051-c}
\frac{\partial F_z}{\partial y} = \frac{\partial F_y}{\partial z}, \ \ \ \ \ \
\frac{\partial F_x}{\partial z} = \frac{\partial F_z}{\partial x}, \ \ \ \ \ \
\frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial F_x}{\partial y}.
\end{equation}
Implementasi Persamaan \eqref{eqn:0051-b} melalui Persamaan \eqref{eqn:0051-c} pada fungsi dalam soal akan menghasilkan
\begin{equation}\label{eqn:0051-d}
0 = 0, \ \ \ \ \ \
-4z = bz, \ \ \ \ \ \
4xy = 2axy.
\end{equation}
Pengolahan Persamaan \eqref{eqn:0051-d} akan memberikan $a = 2$ dan $b = -4$. Usaha untuk memindahkan benda dari titik awal $(0, 0, 0)$ ke titik akhir $(5, 5, 5)$ dapat dilakukan dengan berbagai lintasan untuk gaya konservatif. Dengan demikian dapat dituliskan
\begin{equation}\label{eqn:0051-e}
W = W_1 + W_2 + W_3 = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}_1 + \int \vec{F} \cdot d\vec{r}_2 + \int \vec{F} \cdot d\vec{r}_3.
\end{equation}
Selanjutnya, bila dipilih $d\vec{r}_1 = \hat{x}dx$, $d\vec{r}_2 = \hat{y}dy$, dan $d\vec{r}_3 = \hat{z}dz$, Persamaan \eqref{eqn:0051-e} akan menjadi
\begin{equation}\label{eqn:0051-f1}
W_1 = \int_0^5 F_x dx, \ \ \ \ \ \ y = 0, \ \ \ \ \ \ z = 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eqn:0051-f2}
W_2 = \int_0^5 F_y dy, \ \ \ \ \ \ x = 5, \ \ \ \ \ \ z = 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eqn:0051-f3}
W_3 = \int_0^5 F_z dz, \ \ \ \ \ \ x = 5, \ \ \ \ \ \ z = 5.
\end{equation}
Persamaan \eqref{eqn:0051-f1} akan memberikan $W_1 0 = $, Persamaan \eqref{eqn:0051-f1} akan menghasilkan $W_2 = 625$, dan $W_3 = -250$ akan didapatkan dari Persamaan \eqref{eqn:0051-f1}. Pada akhirnya dapat diperoleh bahwa $W = 375$ menggunakan Persamaan \eqref{eqn:0051-e}.
