compton scattering

Hamburan Compton terjadi saat sinar-x terdefleksi dari jalurnya semula akibat interaksi dengan sebuah elektron [1] dalam target karbon. Untuk menjelaskan pengamatannya ini Compton berasumsi bahwa cahaya bersifat sebagai partikel atau foton [2].

probability of compton effect#

Saat foton masuk ke dalam bahan tidak selalu dapat terjadi efek Compton. Probabilitas terjadinya efek ini [3]

• berbanding lurus dengan jumlah elektron pada kulit terluar, i.e. kerapatan elektron dan rapat fisis bahan,
• bergantung lemah pada energi foton (secara relatif tetap untuk rentang energi $10-600\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{V}$),
• tidak bergantung pada nomor atom (tidak seperti efek fotolistrik dn produksi pasangan).

Secara umum saat sinar-x memasuki bahan, kekuatannya akan berkurang karena berinterkasi pada bahan. Terdapat berbagai mekanisme seperti hamburan Thomson, hamburan Compton, efek fotolistrik, dan produksi pasangan, yang telah terdapat simulasinya [4].

formula#

Formula Compton berbentuk

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\lambda }_f-{\lambda }_i=\mathrm{\Delta }\lambda =\frac{h}{mc}(1-\cos \theta )\end{array}$$

dapat diturunkan menggunakan hukum kekekalan energi, hukum kekekalan momentum, hubungan Planck, dan ekspresi energi relativistik [5].

Foton bergerak dari kiri ke kanan searah dengan sumbu $x$ dan menumbuk elektron yang “diam” dan kemudian foton terhambur ke arah kanan atas, sementara elektron ke arah kanan bawah. Setelah tumbukan baik elektron maupun foton memiliki momentum pada arah $y$.

conservation laws#

Pada hamburan Compton untuk foton dan elektron yang ditumbuknya berlaku hukum kekekalan momentum

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\overrightarrow{p}}_{\lambda i}+{\overrightarrow{p}}_{ei}={\overrightarrow{p}}_{\lambda f}+{\overrightarrow{p}}_{ef}\end{array}$$

dan hukum kekekalan energi

$$\begin{array}{}\text{(3)}& E_{\lambda i}+E_{ei}=E_{\lambda f}+E_{ef}\end{array}$$

dengan indeks $\lambda$ untuk foton, $e$ untuk elektron, $i$ untuk keadaan awal (inisial), dan $f$ untuk keadaan akhir (final).

momentum#

Momentum foton sebelum dan sesudah tumbukan adalah

$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\overrightarrow{p}}_{\lambda i}=p_i\hat{x}\end{array}$$

dan

$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\overrightarrow{p}}_{\lambda f}=p_f\cos \theta \hat{x}+p_f\sin \theta \hat{y}.\end{array}$$

Sedangkan momentum elektron sebelum dan sesudah tumbukan adalah

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\overrightarrow{p}}_{ei}=0\end{array}$$

dan

$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\overrightarrow{p}}_{ef}=p_e\cos \varphi \hat{x}-p_e\sin \varphi \hat{y}.\end{array}$$

Substitusi Persamaan $\text{(4)}$, $\text{(5)}$, $\text{(6)}$, $\text{(7)}$ ke Persamaan $\text{(2)}$ akan memberikan hubungan

$$\begin{array}{}\text{(8)}& p_i=p_f\cos \theta +p_e\cos \varphi \end{array}$$

pada arah $x$ dan hubungan

$$\begin{array}{}\text{(9)}& 0=p_f\sin \theta -p_e\sin \varphi \end{array}$$

pada arah $y$. Dari Persamaan $\text{(8)}$ dapat diperoleh

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \begin{array}{rcl}{p}_e\cos \varphi & =& p_i-p_f\cos \theta \\ p_e^2{\cos }^2\varphi & =& p_i^2-2p_i{p}_f\cos \theta +p_f^2{\cos }^2\theta \end{array}\end{array}$$

dan dari $\text{(9)}$ dapat diperoleh

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \begin{array}{rcl}{p}_e\sin \varphi & =& p_f\sin \theta \\ p_e^2{\sin }^2\varphi & =& p_f^2{\sin }^2\theta .\end{array}\end{array}$$

Dengan menjumlahkan baris terakhir dari kedua Persamaan $\text{(10)}$ dan $\text{(11)}$ hubungan

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \begin{array}{rcl}{p}_e^2{\cos }^2\varphi +p_e^2{\sin }^2\varphi & =& p_i^2-2p_i{p}_f\cos \theta +p_f^2{\cos }^2\theta \\ & & +p_f^2{\sin }^2\theta \\ p_e^2& =& p_i^2-2p_i{p}_f\cos \theta +p_f^2\end{array}\end{array}$$

dapat diperoleh.

energy#

Energi foton sebelum dan sesudan tumbukan adalah

$$\begin{array}{}\text{(13)}& E_{\lambda i}=p_{i}c\end{array}$$

dan

$$\begin{array}{}\text{(14)}& E_{\lambda i}=p_{f}c.\end{array}$$

Sedangkan energi elektron sebelum dan sesudah tumbukan adalah

$$\begin{array}{}\text{(15)}& E_{ei}=m{c}^2\end{array}$$

dan

$$\begin{array}{}\text{(16)}& E_{ef}=\sqrt{m^2{c}^4+p_e^2{c}^2}.\end{array}$$

Pada Persamaan $\text{(15)}$ dan $\text{(16)}$ $m$ adalah massa elektron saat dalam keadaan diam.

Substitusi Persamaan $\text{(13)}$, $\text{(14)}$, $\text{(15)}$, $\text{(16)}$ ke Persamaan $\text{(3)}$ akan dapat menghasilkan

$$\begin{array}{}\text{(17)}& \begin{array}{rcl}{p}_{i}c+m{c}^2& =& p_{f}c\\ & & +\sqrt{m^2{c}^4+p_e^2{c}^2}\\ \\ (p_i-p_f)c+m{c}^2& =& \sqrt{m^2{c}^4+p_e^2{c}^2}\\ \\ (p_i-p_f{)}^2{c}^2& & \\ +2(p_i-p_f)m{c}^3& & \\ +m^2{c}^4& =& m^2{c}^4+p_e^2{c}^2\\ \\ (p_i-p_f{)}^2{c}^2& & \\ +2(p_i-p_f)m{c}^3& =& p_e^2{c}^2\\ \\ (p_i-p_f{)}^2& & \\ +2(p_i-p_f)mc& =& p_e^2\\ \\ p_i^2-2p_i{p}_f+p_f^2& & \\ +2(p_i-p_f)mc& =& p_e^2.\end{array}\end{array}$$

equating#

Menyamakan Persamaan $\text{(12)}$ dengan Persamaan $\text{(17)}$ akan memberikan

$$\begin{array}{}\text{(18)}& \begin{array}{rcl}{p}_i^2-2p_i{p}_f& +& p_f^2+2(p_i-p_f)mc\\ & =& p_i^2-2p_i{p}_f\cos \theta +p_f^2\\ 2(p_i-p_f)mc& =& 2p_i{p}_f(1-\cos \theta )\\ (p_i-p_f)mc& =& p_i{p}_f(1-\cos \theta ).\end{array}\end{array}$$

Selanjutnya dengan menggunakan momentum foton

$$\begin{array}{}\text{(19)}& p=\frac{h}{\lambda }\end{array}$$

Persamaan $\text{(18)}$ akan menjadi $$\begin{array}{}\text{(20)}& \begin{array}{rcl}{\displaystyle (\frac{h}{{\lambda }_i}-\frac{h}{{\lambda }_f})mc}& =& {\displaystyle \frac{h}{{\lambda }_i}\frac{h}{{\lambda }_f}(1-\cos \theta )}\\ {\displaystyle h(\frac{1}{{\lambda }_i}-\frac{1}{{\lambda }_f})mc}& =& {\displaystyle \frac{h^2}{{\lambda }_i{\lambda }_f}(1-\cos \theta )}\\ {\displaystyle (\frac{1}{{\lambda }_i}-\frac{1}{{\lambda }_f})}& =& {\displaystyle \frac{h}{mc{\lambda }_i{\lambda }_f}(1-\cos \theta )}\\ {\displaystyle \left(\frac{{\lambda }_f-{\lambda }_i}{{\lambda }_i{\lambda }_f}\right)}& =& {\displaystyle \frac{h}{mc{\lambda }_i{\lambda }_f}(1-\cos \theta )}\\ {\lambda }_f-{\lambda }_i& =& {\displaystyle \frac{h}{mc}(1-\cos \theta )}\end{array}\end{array}$$

yang tidak lain adalah formula hamburan Compton pada Persamaan $\text{(1)}$.

notes#

1. Jean Dubberke (coord.), “Compton Scattering”, Nondestructive Testing and Nondestructive Evaluation, Center for Nondestructive Evaluation, Iowa State University, 2021, url https://www.nde-ed.org/Physics/X-Ray/comptonscattering.xhtml [20220420].
2. Carl Rod Nave, “Compton Scattering”, HyperPhysics, 2017, url http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/comptint.html [20220420].
3. Ayush Goel, Henry Knipe, Stuart Price, Francesco Priamo, Aanand Vibhakar, Craig Hacking, Frank Gaillard, Monica Wong, Trang Hoang, “Compton effect”, Radiopaedia.org, 15 Sep 2021, url https://doi.org/10.53347/rID-30308.
4. Jean Dubberke (coord.), “Summary of different mechanisms that cause attenuation of an incident x-ray beam”, Nondestructive Testing and Nondestructive Evaluation, Center for Nondestructive Evaluation, Iowa State University, 2021, url https://www.nde-ed.org/Physics/X-Ray/attenuation.xhtml [20220420].
5. Carl Rod Nave, “Compton Scattering Equation”, HyperPhysics, 2017, url http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/compeq.html#c1 [20220418].