compton scattering
Hamburan Compton terjadi saat sinar-x terdefleksi dari jalurnya semula akibat interaksi dengan sebuah elektron [1] dalam target karbon. Untuk menjelaskan pengamatannya ini Compton berasumsi bahwa cahaya bersifat sebagai partikel atau foton [2].
probability of compton effect#
Saat foton masuk ke dalam bahan tidak selalu dapat terjadi efek Compton. Probabilitas terjadinya efek ini [3]
- berbanding lurus dengan jumlah elektron pada kulit terluar, i.e. kerapatan elektron dan rapat fisis bahan,
- bergantung lemah pada energi foton (secara relatif tetap untuk rentang energi $10 - 600 \ {\rm keV}$),
- tidak bergantung pada nomor atom (tidak seperti efek fotolistrik dn produksi pasangan).
Secara umum saat sinar-x memasuki bahan, kekuatannya akan berkurang karena berinterkasi pada bahan. Terdapat berbagai mekanisme seperti hamburan Thomson, hamburan Compton, efek fotolistrik, dan produksi pasangan, yang telah terdapat simulasinya [4].
formula#
Formula Compton berbentuk
\begin{equation}\label{eqn:compton-scattering} \lambda_f - \lambda_i = \Delta \lambda = \frac{h}{m c} (1 - \cos \theta) \end{equation}
dapat diturunkan menggunakan hukum kekekalan energi, hukum kekekalan momentum, hubungan Planck, dan ekspresi energi relativistik [5].
Foton bergerak dari kiri ke kanan searah dengan sumbu $x$ dan menumbuk elektron yang “diam” dan kemudian foton terhambur ke arah kanan atas, sementara elektron ke arah kanan bawah. Setelah tumbukan baik elektron maupun foton memiliki momentum pada arah $y$.
conservation laws#
Pada hamburan Compton untuk foton dan elektron yang ditumbuknya berlaku hukum kekekalan momentum
\begin{equation}\label{eqn:conservation-of-momentum} \vec{p} _{\lambda i} + \vec{p} _{ei} = \vec{p} _{\lambda f} + \vec{p} _{ef} \end{equation}
dan hukum kekekalan energi
\begin{equation}\label{eqn:conservation-of-energy} E_{\lambda i} + E_{ei} = E_{\lambda f} + E_{ef} \end{equation}
dengan indeks $\lambda$ untuk foton, $e$ untuk elektron, $i$ untuk keadaan awal (inisial), dan $f$ untuk keadaan akhir (final).
momentum#
Momentum foton sebelum dan sesudah tumbukan adalah
\begin{equation}\label{eqn:photon-initial-momentum} \vec{p} _{\lambda i} = p_i \ \hat{x} \end{equation}
dan
\begin{equation}\label{eqn:photon-final-momentum} \vec{p} _{\lambda f} = p_f \cos\theta \ \hat{x} + p_f \sin\theta \ \hat{y}. \end{equation}
Sedangkan momentum elektron sebelum dan sesudah tumbukan adalah
\begin{equation}\label{eqn:electron-initial-momentum} \vec{p} _{e i} = 0 \end{equation}
dan
\begin{equation}\label{eqn:electron-final-momentum} \vec{p} _{e f} = p_e \cos\phi \ \hat{x} - p_e \sin\phi \ \hat{y}. \end{equation}
Substitusi Persamaan \eqref{eqn:photon-initial-momentum}, \eqref{eqn:photon-final-momentum}, \eqref{eqn:electron-initial-momentum}, \eqref{eqn:electron-final-momentum} ke Persamaan \eqref{eqn:conservation-of-momentum} akan memberikan hubungan
\begin{equation}\label{eqn:conservation-of-momentum-x} p_i = p_f \cos\theta + p_e \cos\phi \end{equation}
pada arah $x$ dan hubungan
\begin{equation}\label{eqn:conservation-of-momentum-y} 0 = p_f \sin\theta - p_e \sin\phi \end{equation}
pada arah $y$. Dari Persamaan \eqref{eqn:conservation-of-momentum-x} dapat diperoleh
\begin{equation}\label{eqn:conservation-of-momentum-x-pe} \begin{array}{rcl} p_e \cos\phi & = & p_i - p_f \cos\theta \newline p_e^2 \cos^2 \phi & = & p_i^2 - 2p_i p_f \cos\theta + p_f^2 \cos^2 \theta \end{array} \end{equation}
dan dari \eqref{eqn:conservation-of-momentum-y} dapat diperoleh
\begin{equation}\label{eqn:conservation-of-momentum-y-pe} \begin{array}{rcl} p_e \sin\phi & = & p_f \sin\theta \newline p_e^2 \sin^2 \phi & = & p_f^2 \sin^2 \theta. \end{array} \end{equation}
Dengan menjumlahkan baris terakhir dari kedua Persamaan \eqref{eqn:conservation-of-momentum-x-pe} dan \eqref{eqn:conservation-of-momentum-y-pe} hubungan
\begin{equation}\label{eqn:conservation-of-momentum-pe} \begin{array}{rcl} p_e^2 \cos^2 \phi + p_e^2 \sin^2 \phi & = & p_i^2 - 2p_i p_f \cos\theta + p_f^2 \cos^2 \theta \newline & & + \ p_f^2 \sin^2 \theta \newline p_e^2 & = & p_i^2 - 2p_i p_f \cos\theta + p_f^2 \end{array} \end{equation}
dapat diperoleh.
energy#
Energi foton sebelum dan sesudan tumbukan adalah
\begin{equation}\label{eqn:photon-initial-energy} E _{\lambda i} = p_i c \end{equation}
dan
\begin{equation}\label{eqn:photon-final-energy} E _{\lambda i} = p_f c. \end{equation}
Sedangkan energi elektron sebelum dan sesudah tumbukan adalah
\begin{equation}\label{eqn:electron-initial-energy} E_{e i} = mc^2 \end{equation}
dan
\begin{equation}\label{eqn:electron-final-energy} E_{e f} = \sqrt{m^2 c^4 + p_e^2 c^2}. \end{equation}
Pada Persamaan \eqref{eqn:electron-initial-energy} dan \eqref{eqn:electron-final-energy} $m$ adalah massa elektron saat dalam keadaan diam.
Substitusi Persamaan \eqref{eqn:photon-initial-energy}, \eqref{eqn:photon-final-energy}, \eqref{eqn:electron-initial-energy}, \eqref{eqn:electron-final-energy} ke Persamaan \eqref{eqn:conservation-of-energy} akan dapat menghasilkan
\begin{equation}\label{eqn:conservation-of-energy-pe} \begin{array}{rcl} p_i c + mc^2 & = & p_f c \newline && + \sqrt{m^2 c^4 + p_e^2 c^2} \newline \newline (p_i - p_f) c + mc^2 & = & \sqrt{m^2 c^4 + p_e^2 c^2} \newline \newline (p_i - p_f)^2 c^2 && \newline +2 (p_i - p_f) mc^3 && \newline +m^2c^4 & = & m^2 c^4 + p_e^2 c^2 \newline \newline (p_i - p_f)^2 c^2 && \newline +2 (p_i - p_f) mc^3 & = & p_e^2 c^2 \newline \newline (p_i - p_f)^2 && \newline +2 (p_i - p_f) mc & = & p_e^2 \newline \newline p_i^2 -2p_i p_f + p_f^2 && \newline +2 (p_i - p_f) mc & = & p_e^2. \end{array} \end{equation}
equating#
Menyamakan Persamaan \eqref{eqn:conservation-of-momentum-pe} dengan Persamaan \eqref{eqn:conservation-of-energy-pe} akan memberikan
\begin{equation}\label{eqn:compton-derivation-1} \begin{array}{rcl} p_i^2 -2p_i p_f & + & p_f^2 + 2 (p_i - p_f) mc \newline & = & p_i^2 - 2p_i p_f \cos\theta + p_f^2 \newline 2 (p_i - p_f) mc & = & 2p_i p_f (1 - \cos\theta) \newline (p_i - p_f) mc & = & p_i p_f (1 - \cos\theta). \end{array} \end{equation}
Selanjutnya dengan menggunakan momentum foton
\begin{equation}\label{eqn:photon-momentum} p = \frac{h}{\lambda} \end{equation}
Persamaan \eqref{eqn:compton-derivation-1} akan menjadi \begin{equation}\label{eqn:compton-derivation-2} \begin{array}{rcl} \displaystyle \left( \frac{h}{\lambda_i} - \frac{h}{\lambda_f} \right) mc & = & \displaystyle \frac{h}{\lambda_i} \frac{h}{\lambda_f} (1 - \cos\theta) \newline \displaystyle h \left( \frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_f} \right) mc & = & \displaystyle \frac{h^2}{\lambda_i \lambda_f} (1 - \cos\theta) \newline \displaystyle \left( \frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_f} \right) & = & \displaystyle \frac{h}{mc \lambda_i \lambda_f} (1 - \cos\theta) \newline \displaystyle \left( \frac{\lambda_f - \lambda_i}{\lambda_i \lambda_f} \right) & = & \displaystyle \frac{h}{mc \lambda_i \lambda_f} (1 - \cos\theta) \newline \lambda_f - \lambda_i & = & \displaystyle \frac{h}{mc} (1 - \cos\theta) \newline \end{array} \end{equation}
yang tidak lain adalah formula hamburan Compton pada Persamaan \eqref{eqn:compton-scattering}.
notes#
- Jean Dubberke (coord.), “Compton Scattering”, Nondestructive Testing and Nondestructive Evaluation, Center for Nondestructive Evaluation, Iowa State University, 2021, url https://www.nde-ed.org/Physics/X-Ray/comptonscattering.xhtml [20220420].
- Carl Rod Nave, “Compton Scattering”, HyperPhysics, 2017, url http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/comptint.html [20220420].
- Ayush Goel, Henry Knipe, Stuart Price, Francesco Priamo, Aanand Vibhakar, Craig Hacking, Frank Gaillard, Monica Wong, Trang Hoang, “Compton effect”, Radiopaedia.org, 15 Sep 2021, url https://doi.org/10.53347/rID-30308.
- Jean Dubberke (coord.), “Summary of different mechanisms that cause attenuation of an incident x-ray beam”, Nondestructive Testing and Nondestructive Evaluation, Center for Nondestructive Evaluation, Iowa State University, 2021, url https://www.nde-ed.org/Physics/X-Ray/attenuation.xhtml [20220420].
- Carl Rod Nave, “Compton Scattering Equation”, HyperPhysics, 2017, url http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/compeq.html#c1 [20220418].