relativistic kinetic energy

Konversi massa menjadi energi sebagai suatu mekanisme astofisika dapat memberikan cara interpretasi baru pada hubungan energi-massa [1], di mana hubungan ini dikenal pula sebagai hubungan dispersi relativistik yang merupakan suatu persamaan relativistik yang menghubungkan energi total (energi relativistik) dengan massa invarian (massa diam) dan momentum [2]. Terdapat penurunan hubungan ini dengan menggunakan segitiga yang menggambarkan proporsi energi kinetik dan energi diam [3] dan dua cara lain [4], yang perlu agak dikoreksi detil prosesnya. Di sini akan disinggung terlebih dahulu rumusan energi kinetiknya.

kinetic energy#

Energi kinetik partikel bermassa $m$ memiliki bentuk

$$\begin{array}{}\text{(1)}& K=\frac{1}{2}m{v}^2\end{array}$$

yang telah dikenal sebelumnya, yang merupakan energi kinetik non-relativistik. Sedangkan untuk energi kinetik relativistik akan berbentuk [5]

$$\begin{array}{}\text{(2)}& K=(\gamma -1)m{c}^2\end{array}$$

dengan

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \gamma =\frac{1}{{\displaystyle \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\end{array}$$

adalah faktor Lorentz.

maclaurin series#

Sembarang fungsi $f(x)$ dapat dituliskan sebagai deret Maclaurin

$$\begin{array}{}\text{(4)}& f(x)=\sum _{n=0}^N\frac{x^n}{n!}{\frac{d^{n}f(x)}{d{x}^n}|}_{x=0},\end{array}$$

dengan jumlah suku yang terlibat ditentukan melalui nilai $N$. Perhatikan bahwa bila diperlukan hanya satu suku maka $N=0$ mengingat indeks pada bagian penjumlahan di ruas kanan Persamaan $\text{(4)}$ dimulai dari $n=0$.

Bila terdapat fungsi berbentuk

$$\begin{array}{}\text{(5)}& f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\end{array}$$

maka dapat dituliskan

$$\begin{array}{}\text{(6)}& f(x)=(1-x^2{)}^{-1/2},f(0)=1,\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(7)}& f^i(x)=x(1-x^2{)}^{-3/2},f^i(0)=0,\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(8)}& f^{ii}(x)=(1-x^2{)}^{-3/2}+3x^2(1-x^2{)}^{-5/2},f^{ii}(0)=1,\end{array}$$

dan seterusnya.

Substitusi Persamaan $\text{(6)}$, $\text{(7)}$, dan $\text{(6)}$ ke Persamaan $\text{(4)}$ akan menghasilkan

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{rcl}f(x)& =& 1+0\cdot x+\frac{1}{2}\cdot 1\cdot x^2+\dots \\ & =& 1+\frac{1}{2}{x}^2+\dots \\ & \approx & 1+\frac{1}{2}{x}^2\end{array}\end{array}$$

yang merupakan aproksimasi untuk $x<<1$.

low speed#

Selanjutnya substitusi hasil dari Persamaan $\text{(9)}$ ke Persamaan $\text{(2)}$, dengan

$$\begin{array}{}\text{(10)}& x\equiv v/c<<1\end{array}$$

untuk laju rendah, akan diperoleh

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \begin{array}{rcl}K& \approx & {\displaystyle [1+\frac{1}{2}{\left(\frac{v}{c}\right)}^2-1]m{c}^2}\\ & \approx & {\displaystyle \frac{1}{2}{\left(\frac{v}{c}\right)}^{2}m{c}^2=\frac{1}{2}m{v}^2,}\end{array}\end{array}$$

yang akan kembali ke energi kinetik non-relativistik.

photon#

Energi foton diberikan oleh [7]

$$\begin{array}{}\text{(12)}& E=h\nu ,\end{array}$$

dengan $h$ konstanta Planck dan $\nu$ frekuensi foton. Untuk photon yang tidak bermassa energi kinetiknya adalah energi totalnya [8].

exer#

1. Untuk $v/c<1$ akan tetapi tidak memenuhi $v/c<<1$ bagaimanakah untuk rumusan energi kinetik yang diperoleh?
2. Bagaimana rumusan energi kinetik dari foton yang tidak bermassa?

notes#

1. Conrad Ranzan, “Mass-to-Energy Conversion, the Astrophysical Mechanism”, Journal of High Energy Physics, Gravitation and Cosmology [J High Energy Phys Gravit Cosmol], vol 5, no 2, p, Apr 2019, url https://doi.org/10.4236/jhepgc.2019.52030.
2. Wikipedia contributors, “Energy–momentum relation”, Wikipedia, The Free Encyclopedia, 10 March 2022, 15:39 UTC, url https://en.wikipedia.org/w/index.php?oldid=1076332908 [20220410].
3. kamaljeet69420, “Energy Momentum Formula”, GeeksforGeeks, 9 Mar 2022, url https://www.geeksforgeeks.org/energy-momentum-formula/ [20220410].
4. Baalateja Kataru, “”, Physics Scribbles, Medium 1 Sep 2019, url https://medium.com/physics-scribbles/1d1336740504 [20220410].
5. Darin Acosta, “Relativistic Momentum”, PHY2061 Enriched Physics 2 - Electromagnetism Lecture Notes, 11 Oct 2015, url http://www.phys.ufl.edu/~acosta/phy2061/lectures/Relativity4.pdf [20220411].
6. Eric W. Weisstein, “Maclaurin Series”, from MathWorld–A Wolfram Web Resource, Wolfram Research, Inc., 7 Apr 2022, url https://mathworld.wolfram.com/MaclaurinSeries.html [20220411].
7. anna v, “Answer to ‘Do photons have kinetic energy?’”, Physics Stack Exchange, 14 Dec 2019, url https://physics.stackexchange.com/a/519529/260719 [20220411].
8. Christopher S. Baird, “Why is light pure energy?”, Science Questions with Surprising Answers, West Texas A&M University, 12 Jan 2015, url https://www.wtamu.edu/~cbaird/sq/mobile/2015/01/12/why-is-light-pure-energy/ [20220411].