relativistic kinetic energy

Konversi massa menjadi energi sebagai suatu mekanisme astofisika dapat memberikan cara interpretasi baru pada hubungan energi-massa [1], di mana hubungan ini dikenal pula sebagai hubungan dispersi relativistik yang merupakan suatu persamaan relativistik yang menghubungkan energi total (energi relativistik) dengan massa invarian (massa diam) dan momentum [2]. Terdapat penurunan hubungan ini dengan menggunakan segitiga yang menggambarkan proporsi energi kinetik dan energi diam [3] dan dua cara lain [4], yang perlu agak dikoreksi detil prosesnya. Di sini akan disinggung terlebih dahulu rumusan energi kinetiknya.

kinetic energy#

Energi kinetik partikel bermassa $m$ memiliki bentuk

\begin{equation}\label{eqn:kinetic-energy-non-relativistic} K = \tfrac12 mv^2 \end{equation}

yang telah dikenal sebelumnya, yang merupakan energi kinetik non-relativistik. Sedangkan untuk energi kinetik relativistik akan berbentuk [5]

\begin{equation}\label{eqn:kinetic-energy-relativistic} K = (\gamma - 1) mc^2 \end{equation}

dengan

\begin{equation}\label{eqn:lorentz-factor} \gamma = \frac{1}{\displaystyle \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{equation}

adalah faktor Lorentz.

maclaurin series#

Sembarang fungsi $f(x)$ dapat dituliskan sebagai deret Maclaurin

\begin{equation}\label{eqn:maclaurin-series} f(x) = \sum_{n = 0}^N \frac{x^n}{n!} \left. \frac{d^n f(x)}{dx^n} \right|_{x = 0}, \end{equation}

dengan jumlah suku yang terlibat ditentukan melalui nilai $N$. Perhatikan bahwa bila diperlukan hanya satu suku maka $N = 0$ mengingat indeks pada bagian penjumlahan di ruas kanan Persamaan \eqref{eqn:maclaurin-series} dimulai dari $n = 0$.

Bila terdapat fungsi berbentuk

\begin{equation}\label{eqn:a-function} f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \end{equation}

maka dapat dituliskan

\begin{equation}\label{eqn:a-function-0} f(x) = (1 - x^2)^{-1/2}, \ \ \ \ f(0) = 1, \end{equation}

\begin{equation}\label{eqn:a-function-1} f^{i}(x) = x(1 - x^2)^{-3/2}, \ \ \ \ f^{i}(0) = 0, \end{equation}

\begin{equation}\label{eqn:a-function-2} f^{ii}(x) = (1 - x^2)^{-3/2} + 3x^2(1 - x^2)^{-5/2}, \ \ \ \ f^{ii}(0) = 1, \end{equation}

dan seterusnya.

Substitusi Persamaan \eqref{eqn:a-function-0}, \eqref{eqn:a-function-1}, dan \eqref{eqn:a-function-0} ke Persamaan \eqref{eqn:maclaurin-series} akan menghasilkan

\begin{equation}\label{eqn:maclaurin-series-fx} \begin{array}{rcl} f(x) & = & 1 + 0 \cdot x + \tfrac12 \cdot 1 \cdot x^2 + \dots \newline & = & 1 + \tfrac12 x^2 + \dots \newline & \approx & 1 + \tfrac12 x^2 \end{array} \end{equation}

yang merupakan aproksimasi untuk $x < < 1$.

low speed#

Selanjutnya substitusi hasil dari Persamaan \eqref{eqn:maclaurin-series-fx} ke Persamaan \eqref{eqn:kinetic-energy-relativistic}, dengan

\begin{equation}\label{eqn:low-velocity} x \equiv v/c < < 1 \end{equation}

untuk laju rendah, akan diperoleh

\begin{equation}\label{eqn:kinetic-energy-relativistic-to-non} \begin{array}{rcl} K & \approx & \displaystyle \left[ 1 + \tfrac12 \left( \frac{v}{c} \right)^2 - 1 \right] \ mc^2 \newline & \approx & \displaystyle \tfrac12 \left( \frac{v}{c} \right)^2 mc^2 = \tfrac12 mv^2, \end{array} \end{equation}

yang akan kembali ke energi kinetik non-relativistik.

photon#

Energi foton diberikan oleh [7]

\begin{equation}\label{eqn:photon-energy} E = h \nu, \end{equation}

dengan $h$ konstanta Planck dan $\nu$ frekuensi foton. Untuk photon yang tidak bermassa energi kinetiknya adalah energi totalnya [8].

exer#

1. Untuk $v / c < 1$ akan tetapi tidak memenuhi $v / c < < 1$ bagaimanakah untuk rumusan energi kinetik yang diperoleh?
2. Bagaimana rumusan energi kinetik dari foton yang tidak bermassa?

notes#

1. Conrad Ranzan, “Mass-to-Energy Conversion, the Astrophysical Mechanism”, Journal of High Energy Physics, Gravitation and Cosmology [J High Energy Phys Gravit Cosmol], vol 5, no 2, p, Apr 2019, url https://doi.org/10.4236/jhepgc.2019.52030.
2. Wikipedia contributors, “Energy–momentum relation”, Wikipedia, The Free Encyclopedia, 10 March 2022, 15:39 UTC, url https://en.wikipedia.org/w/index.php?oldid=1076332908 [20220410].
3. kamaljeet69420, “Energy Momentum Formula”, GeeksforGeeks, 9 Mar 2022, url https://www.geeksforgeeks.org/energy-momentum-formula/ [20220410].
4. Baalateja Kataru, “”, Physics Scribbles, Medium 1 Sep 2019, url https://medium.com/physics-scribbles/1d1336740504 [20220410].
5. Darin Acosta, “Relativistic Momentum”, PHY2061 Enriched Physics 2 - Electromagnetism Lecture Notes, 11 Oct 2015, url http://www.phys.ufl.edu/~acosta/phy2061/lectures/Relativity4.pdf [20220411].
6. Eric W. Weisstein, “Maclaurin Series”, from MathWorld–A Wolfram Web Resource, Wolfram Research, Inc., 7 Apr 2022, url https://mathworld.wolfram.com/MaclaurinSeries.html [20220411].
7. anna v, “Answer to ‘Do photons have kinetic energy?’”, Physics Stack Exchange, 14 Dec 2019, url https://physics.stackexchange.com/a/519529/260719 [20220411].
8. Christopher S. Baird, “Why is light pure energy?”, Science Questions with Surprising Answers, West Texas A&M University, 12 Jan 2015, url https://www.wtamu.edu/~cbaird/sq/mobile/2015/01/12/why-is-light-pure-energy/ [20220411].