interference intensity slit 2

Distribusi intensitas pada interferensi oleh dua celah dapat diperoleh menggunakan fasor [1] yang lebih mudah dari menjumlahkan dua fungsi trigonomoetri dengan formula Prosthaphaeresis [2], dengan fungsi trigonometri yang dimaksud adalah fungsi yang merupakan solusi dari persamaan gelombang untuk medan listrik. Untuk membantu pemahaman mengenai fasor ini, telah pula ada model mekaniknya sehingga dapat dicoba [3]. Dengan dua cara tersebut akan ditunjukkan bagaimana intensitas interferensi dua celah dapat diperoleh.

phasor#

Fasor (phasor) atau vektor fasa (phase vektor) adalah vektor yang arahnya ditentukan oleh sudut fasanya. Dua buah fasor yang berbeda fasa $\varphi$ dapat digambarkan sebagai berikut.

Penjumlahan dua buah fasor membentuk sudut $\varphi$ secara umum sama dengan penjumlahkan dua buah vektor yang membentuk sudut yang sama. Ilustrasi pendahuluan penjumlahan dua buah vektor dengan aturan trapesium diberikan pada Gambar 1 (kiri), sedang dengan aturan segitiga diberikan pada Gambar 1 (kanan).

resultan#

Penjumlahan fasor pada interferensi dua celah dapat diilustrasikan sebagai berikut, dengan $E_o$ adalah amplitudo medan listrik dari sumber cahaya pada masing-masing celah. Atau lebih tepatnya sumber cahaya tunggal monokromatik yang menyinari celah.

Dengan menggunakan fasor superposisi berkas cahaya pada suatu titik $\mathrm{P}$ dapat diperoleh untuk nilai maksimum dan minimumnya pada nilai beda fasa $\varphi$ tertentu. Informasi nilai maksimum dan minimum ini berguna dalam proses menggambarkan intensitasnya. Dari Gambar 2 dapat diperoleh bahwa interferensi maksimum

$$\begin{array}{}\text{(1)}& E=2E_o,\varphi =2n\pi ,n=0,1,2,\dots \end{array}$$

dan interferensi mininum

$$\begin{array}{}\text{(2)}& E=0,\varphi =(2n+1)\pi ,n=0,1,2,\dots \end{array}$$

dengan $\varphi$ kelak dapat direpresentasikan dalam besaran lain yang menyebabkan perbedaan fasa ini.

intensity#

Intensitas sebanding dengan kuadrat amplitudo medan listrik sehingga dapat dituliskan untuk sumbernya

$$\begin{array}{}\text{(3)}& I_o\propto E_o^2\end{array}$$

dan untuk hasil interferensi oleh dua celah

$$\begin{array}{}\text{(4)}& I\propto E^2.\end{array}$$

Persamaan $\text{(3)}$ dan $\text{(4)}$ dapat membuat Persamaan $\text{(1)}$ dan $\text{(2)}$ dituliskan kembali menjadi

$$\begin{array}{}\text{(5)}& I=4I_o,\varphi =2n\pi ,n=0,1,2,\dots \end{array}$$

dan interferensi mininum

$$\begin{array}{}\text{(6)}& I=0,\varphi =(2n+1)\pi ,n=0,1,2,\dots \end{array}$$

Persamaan $\text{(5)}$ dan $\text{(6)}$ akan dijadikan panduan dalam menggambarkan intensitas interferensi dua celah.

superposition#

Fungsi medan listrik pada titik $\mathrm{P}$ akibat berkas cahaya yang bersumber dari celah ${\mathrm{S}}_1$ dapat dituliskan dalam bentuk

$$\begin{array}{}\text{(7)}& E_1=E_o\sin (k{x}_1-\omega t)\end{array}$$

dengan $x_1$ adalah jarak titik $\mathrm{P}$ terhadap celah ${\mathrm{S}}_1$. Dengan cara yang sama dapat diperoleh pula fungsi medan listrik pada titik $\mathrm{P}$ akibat berkas cahaya yang bersumber dari celah ${\mathrm{S}}_2$

$$\begin{array}{}\text{(8)}& E_2=E_o\sin (k{x}_2-\omega t),\end{array}$$

dengan $x_2$ adalah jarak titik $\mathrm{P}$ dari celah ${\mathrm{S}}_2$.

Kedua celah ${\mathrm{S}}_1$ dan ${\mathrm{S}}_2$, lintasan yang ditempuh kedua berkas $x_1$ dan $x_2$, serta titik $\mathrm{P}$ pada layar diberikan pada Gambar 3.

Total medan listrik pada titik $\mathrm{P}$ adalah superposisi dari medan listrik akibat kedua sumber

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{rcl}E& =& E_1+E_2\\ & =& E_o\sin (k{x}_1-\omega t)+E_o\sin (k{x}_2-\omega t)\\ & =& 2E_0\sin [\frac{1}{2}k(x_1+x_2)-\omega t]\cos \frac{1}{2}k(x_1-x_2)\\ & =& 2E_0\sin [\frac{1}{2}k(x_1+x_2)-\omega t]\cos \frac{1}{2}k(x_2-x_1)\\ & =& 2E_0\sin [\frac{1}{2}k(x_1+x_2)-\omega t]\cos \frac{1}{2}k\mathrm{\Delta }x\end{array}\end{array}$$

dengan

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \mathrm{\Delta }x=x_2-x_1.\end{array}$$

Baris kedua dapat menjadi baris ketiga pada Persamaan $\text{(9)}$ dikarenakan

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \cos (-x)=\cos x.\end{array}$$

Dari Persamaan $\text{(9)}$ dapat diperoleh intensitas relatifnya melalui Persamaan $\text{(3)}$ dan $\text{(4)}$ dalam bentuk

$$\begin{array}{}\text{(12)}& I=4I_o{\sin }^2[\frac{1}{2}k(x_1+x_2)-\omega t]{\cos }^2\frac{1}{2}k\mathrm{\Delta }x.\end{array}$$

Rata-rata intensitas terhadap waktu untuk masing-masing sumber

$$\begin{array}{}\text{(13)}& I_{i,\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}=\frac{1}{2}{I}_o,i=1,2,\end{array}$$

dan resultannya

$$\begin{array}{}\text{(14)}& I_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}=2I_o{\cos }^2\frac{1}{2}k\mathrm{\Delta }x.\end{array}$$

pada titik $\mathrm{P}$ dapat diperoleh. Kedua Persamaan $\text{(13)}$ dan $\text{(14)}$ diperoleh dari

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \frac{1}{T}{\int }_t^{t+T}{\sin }^2(\omega t+\gamma )=\frac{1}{2}\end{array}$$

dengan $\gamma$ bukan fungsi dari waktu. Untuk Persamaan $\text{(13)}$ $\gamma =\pi -k{x}_i$, $i=1,2$ dan untuk Persamaan $\text{(14)}$ $\gamma =\pi -\frac{1}{2}(x_1+x_2)$. Dengan demikian dapat dituliskan

$$\begin{array}{}\text{(16)}& \frac{I}{I_o}=4{\cos }^2\frac{1}{2}k\mathrm{\Delta }x.\end{array}$$

Baris kedua Persamaan $\text{(9)}$ dapat dituliskan kembali menjadi

$$\begin{array}{}\text{(17)}& \begin{array}{rcl}E& =& E_o\sin (k{x}_1-\omega t)+E_o\sin (k{x}_2-\omega t+k\mathrm{\Delta }x)\\ & =& E_o\sin (k{x}_1-\omega t)+E_o\sin [k(x_1+x_2-x_1)-\omega t]\\ & =& E_o\sin (k{x}_1-\omega t)+E_o\sin [k(x_1+\mathrm{\Delta }x)-\omega t]\\ & =& E_o\sin (k{x}_1-\omega t)+E_o\sin (k{x}_1-\omega t+k\mathrm{\Delta }x)\\ & =& E_o\sin (k{x}_1-\omega t)+E_o\sin (k{x}_1-\omega t+\varphi )\end{array}\end{array}$$

sehingga cocok dengan ilustrasi fasor pada Gambar 1. Dari baris terakhir Persamaan $\text{(17)}$ dapat diperoleh bahwa

$$\begin{array}{}\text{(18)}& \varphi =k\mathrm{\Delta }x,\end{array}$$

di mana untuk pendekatan dengan sudut $\theta$ kecil hubungan

$$\begin{array}{}\text{(19)}& \mathrm{\Delta }x=d\sin \theta \end{array}$$

dapat diperoleh. Persaman $\text{(18)}$ menggambarkan beda fasa antar fasor yang mewakili berkas cahaya dari masing-masing celah yang tiba di titik $\mathrm{P}$ pada layar dan Persamaan $\text{(19)}$ menunjukkan beda panjang lintasan kedua berkas yang masing-masing melewati $x_1$ dan $x_2$ bergantung pada jarak antar kedua celah $d$ dan sudut $\theta$. Substitusi Persamaan $\text{(19)}$ ke Persamaan $\text{(18)}$ akan menjelakan bahwa beda fasa antara kedua berkas yang tiba di titik $\mathrm{P}$ disebabkan oleh posisi angularnya $\theta$ dan jarak antar kedua celah $d$.

Substitusi Persamaan $\text{(18)}$ ke Persamaan $\text{(16)}$ akan menghasilkan

$$\begin{array}{}\text{(20)}& \frac{I}{I_o}=4{\cos }^2\frac{1}{2}\varphi .\end{array}$$

Selanjutnya, Persamaan $\text{(5)}$, $\text{(6)}$, dan $\text{(20)}$ dapat diresumekan menjadi

$$\begin{array}{}\text{(21)}& \frac{I}{I_o}=\{\begin{array}{ll}4,& \varphi =2n\pi ,\\ 0,& \varphi =(2n+1)\pi ,\\ 4{\cos }^2\frac{1}{2}\varphi ,& 2n<\varphi <2(n+1)\pi ,\end{array}\end{array}$$

dengan $n=0,1,2,3,\dots$. Kedua baris awal pada Persamaan $\text{(21)}$ dapat dipereh dari baris ketiga.

Persamaan $\text{(21)}$ digambarkan kurvanya pada Gambar 4, dengan titik-titik maksimum dan minimum pada gambar tersebut dapat pula diperoleh dari Persamaan $\text{(5)}$ dan $\text{(6)}$.

exer#

1. Apa perbedaan dari Persamaan $\text{(5)}$ dan $\text{(6)}$ dan Persamaan $\text{(20)}$?
2. Apa persamaan yang diperoleh bila Persamaan $\text{(19)}$ disubstitusikan ke Persamaan $\text{(18)}$, lalu hasilnya digunakan pada syarat dari Persamaan $\text{(5)}$?
3. Apa persamaan yang diperoleh bila Persamaan $\text{(19)}$ disubstitusikan ke Persamaan $\text{(18)}$, lalu hasilnya digunakan pada syarat dari Persamaan $\text{(6)}$?
4. Bagaimana cara memperoleh syarat interferensi minumum dalam bentuk $d\sin \theta =(n+\frac{1}{2})\lambda$ yang telah dikenal?
5. Bagaimana pula cara memperoleh syarat interferensi maksimum $d\sin \theta =n\lambda$ yang telah dikenal?

notes#

1. Luke Wilson, “Light and Optics - 8”, Department of Physics and Astronomy, The University of Sheffield, 17 Mar 2011, url https://www.sheffield.ac.uk/polopoly_fs/1.20730!/file/Topic8.pdf [20220330].
2. Eric W. Weisstein, “Prosthaphaeresis Formulas”, from MathWorld–A Wolfram Web Resource, Wolfram Research, Inc., 29 Mar 2022 url https://mathworld.wolfram.com/ProsthaphaeresisFormulas.html [20220330].
3. Rand S. Worland, Matthew J. Moelter, “Hands-On Hands-On Phasors Phasors and and Multiple-Slit Multiple-Slit Interference”, The Physics Teacher [Phys Teach], vol 35, no 8, p 486-488, Nov 1997, url https://doi.org/10.1119/1.2344776.