two slit interference function resultan

Interferensi dua celah [1] memerlukan konsep fasor untuk menjelaskan nilai intesitas pola-pola terang gelapnya, di mana konsep fasor ini lebih dikenal pada analisis rangkaian listrik [2]. Di sini akan diberikan resultan dari fungsi masing-masing medan listrik untuk mendapatkan intensitas interferensi dua celah sempit.

double slit system#

Sistem celah ganda atau dua celah diberikan pada gambar berikut ini, yang terdiri dari dua buah celah dan layar untuk menangkap pola-pola interferensi.

Lebar kedua celah tidak diperhitungkan dan jarak antar kedua celah sempit tersebut adalah $d$. Kedua celah berfungsi sebagai dua sumber cahaya ${\mathrm{S}}_1$ dan ${\mathrm{S}}_2$, di mana berkas dari kedua sumber tersebut menempuh lintasan masing-masing, $x_1$ dan $x_2$, untuk mencapai suatu titik $\mathrm{P}$ yang terletak pada layar. Jarak layar ke celah adalah $L$. Kedua sumber cahaya ${\mathrm{S}}_1$ dan ${\mathrm{S}}_2$ merupakan sumber cahaya monokromatik.

electric field#

Sumber cahaya ${\mathrm{S}}_1$ menghasilkan berkas cahaya yang dapat diwakili dengan medan listriknya $E_1$ dan sumber cahaya ${\mathrm{S}}_2$ menghasilkan berkas cahaya yang dapat diwakili dengan medan listriknya $E_2$. Pada suatu titik medan listrik dari masing-masing sumber dapat dinyatakan sebagai

$$\begin{array}{}\text{(1)}& E_j=E_o\sin (k{x}_j-\omega t+\phi ),j=1,2,\end{array}$$

dengan $k$ bilangan gelombang, $x$ jarak suatu titik terhadap sumbernya, $\omega$ frekuensi angular, $t$ waktu, dan $\phi$ adalah fasa awal. Jarak yang dimaksud di sini adalah panjang lintasan $x_1$ dan $x_2$ pada Gambar 1.

Nilai fasa awal dapat dipilih sedemikian rupa sehingga dapat diperoleh untuk medan listrik dari sumber ${\mathrm{S}}_1$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& E_1=E_o\sin \omega t\end{array}$$

dan untuk medan listrik dari sumber ${\mathrm{S}}_2$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& E_2=E_o\sin (\omega t+\varphi )\end{array}$$

pada titik $\mathrm{P}$. Agar dapat diperoleh Persamaan $\text{(2)}$ dari Persamaan $\text{(1)}$ diperlukan hubungan

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \phi =\pi -k{x}_1\end{array}$$

dan Agar dapat diperoleh Persamaan $\text{(3)}$ dari Persamaan $\text{(1)}$ diperlukan hubungan

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \phi =\pi -k{x}_2-\varphi ,\end{array}$$

dengan

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \varphi =-k\mathrm{\Delta }x\end{array}$$

yang merupakan beda fasa kedua berkas cahaya, di mana

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \mathrm{\Delta }x=x_2-x_1\end{array}$$

yang merupakan perbedaan panjang lintasan yang ditempuh kedua berkas cahaya.

phasor#

Kedua medan listrik $E_1$ dan $E_2$ dapat digambarkan pada koordinat polar sebagai fasor atau phase vektor seperti di bawah ini. Fungsi $E_1$ pada Persamaan $\text{(2)}$ dan $E_2$ pada Persamaan $\text{(3)}$ tak lain adalah proyeksi pada sumbu tegak.

Kedua medan listrik $E_1$ dan $E_2$ selalu berbeda fasa sebesar $\varphi$ dengan ilustrasi keduanya pada beberapa waktu berbeda diberikan pada Gambar 2. Kedua fasor medan listrik $E_1$ dan $E_2$ berwarna hijau berada pada waktu $t=t_C$, berwarna biru pada waktu $t=t_B$, dan berwarna hitam pada waktu $t=t_A$, di mana $t_C>t_B>t_A$

resultan#

Resultan kedua medan listrik $E_1$ dan $E_2$ dari kedua celah dapat diilustrasikan seperti pada gambar di bawah ini.

Nilai $E$ dapat diperoleh dengan aturan penjumlahan segitiga dua buah vektor [3]

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{rcl}{E}^2& =& E_1^2+E_2^2+2E_1{E}_2\cos \varphi \\ & =& E_o^2+E_o^2+2E_o{E}_o\cos \varphi \\ & =& 2E_o^2+2E_o^2\cos \varphi \\ & =& 2E_0^2(1+\cos \varphi )\\ E& =& E_o\sqrt{2(1+\cos \varphi )}\end{array}\end{array}$$

diperoleh amplitudo dari fasor $E$. Dan dengan hukum sinus [4].

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{E}{\sin (\pi -2\gamma )}}& =& {\displaystyle \frac{E_0}{\sin \gamma }}\\ {\displaystyle \frac{E}{\sin 2\gamma }}& =& {\displaystyle \frac{E_0}{\sin \gamma }}\\ {\displaystyle \frac{E}{2\sin \gamma \cos \gamma }}& =& {\displaystyle \frac{E_0}{\sin \gamma }}\\ {\displaystyle \frac{E}{2\cos \gamma }}& =& E_0\\ {\displaystyle \frac{E}{2E_0}}& =& \cos \gamma \end{array}\end{array}$$

diperoleh sudut $\gamma$. Substitusi Pesamaan $\text{(8)}$ ke Persamaan $\text{(9)}$ akan menghasilkan

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \cos \gamma =\frac{1}{2}\sqrt{2(1+\cos \varphi )}.\end{array}$$

Dan dapat pula diperoleh

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \sin \gamma =\frac{1}{2}\sqrt{2(1-\cos \varphi )}\end{array}$$

dan

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \tan \gamma =\sqrt{\frac{1-\cos \varphi }{1+\cos \varphi }}.\end{array}$$

Dengan demikian dapat diperoleh

$$\begin{array}{}\text{(13)}& E=E_o\sqrt{2(1+\cos \varphi )}\sin (\omega t+\gamma )\end{array}$$

sebagai resultan kedua medan listrik $E_1$ dan $E_2$, dengan $\gamma$ diberikan oleh Persamaan $\text{(10)}$ dan $\text{(11)}$. Persamaan $\text{(13)}$ dapat dituliskan kembali menjadi

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \begin{array}{rcl}E& =& {\displaystyle E_o\sqrt{2(1+\cos \varphi )}\sin (\omega t+\gamma )}\\ & =& {\displaystyle E_o\sqrt{2(1+\cos \varphi )}\sin \omega t\cos \gamma }\\ & & {\displaystyle +E_o\sqrt{2(1+\cos \varphi )}\cos \omega t\sin \gamma }\\ & =& {\displaystyle E_o\sqrt{2(1+\cos \varphi )}\sin \omega t\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2(1+\cos \varphi )}}\\ & & {\displaystyle +E_o\sqrt{2(1+\cos \varphi )}\cos \omega t\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2(1-\cos \varphi )}}\\ & =& {\displaystyle (1+\cos \varphi )E_o\sin \omega t+\sqrt{(1-{\cos }^2\varphi )}{E}_o\cos \omega t}\\ & =& {\displaystyle (1+\cos \varphi )E_o\sin \omega t+\sin \varphi E_o\cos \omega t}\\ & =& E_o\sin \omega t+E_o\sin \omega t\cos \varphi +E_o\cos \omega t\sin \varphi \\ & =& E_o\sin \omega t+E_o\sin (\omega t+\varphi )\\ & =& E_1+E_2,\end{array}\end{array}$$

yang menunjukkan bahwa fasor $E$ merupakan superposisi dari fasor $E_1$ pada Persamaan $\text{(2)}$ dan $E_2$ pada Persamaan $\text{(3)}$.

intensity#

Intensitas relatif hasil interferensi dua celah dapat diperoleh dari Persamaan $\text{(13)}$ dengan mengkuadratkannya sehingga dapat diperoleh

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{I}{I_0}}& =& 2(1+\cos \varphi {)}^2{\sin }^2(\omega t+\gamma )\\ & =& 2(1+2\cos 2\varphi -1){\sin }^2(\omega t+\gamma )\\ & =& 4{\cos }^2\frac{1}{2}\varphi {\sin }^2(\omega t+\gamma ).\end{array}\end{array}$$

Suku ${\cos }^2\frac{1}{2}\varphi$ akan menentukan nilai intensitas maksimum $4$ atau minimum $0$ dari intensitas relatif pada Persamaan $\text{(15)}$.

Nilai $\varphi$ yang memberikan intensitas relatif maksimum

$$\begin{array}{}\text{(16)}& \begin{array}{rcl}\frac{1}{2}\varphi & =& m\pi \\ \varphi & =& 2m\pi \end{array}\end{array}$$

dengan $m=0,1,2,\dots .$ Dan untuk intensitas relatif minimum

$$\begin{array}{}\text{(17)}& \begin{array}{rcl}\frac{1}{2}\varphi & =& (m+\frac{1}{2})\pi \\ \varphi & =& (2m+1)\pi .\end{array}\end{array}$$

Posisi-posisi $\varphi$ yang memberikan intensitas relatif maksimum dan minimum disajikan pada Gambar 4.

exer#

1. Bagaimana cara memperoleh Gambar 4? Persamaan mana yang digunakan?

2. Persaamaan $\text{(16)}$ belum memberikan kondisi untuk interferensi minimum bebentuk $d\sin \theta =(m+\frac{1}{2})\lambda$. Bagaimana cara memperolehnya?

3. Persaamaan $\text{(17)}$ belum memberikan kondisi untuk interferensi minimum bebentuk $d\sin \theta =m\lambda$. Bagaimana cara memperolehnya?

notes#

1. Carl Rod Nave, “Double Slit Interference”, HyperPhysics, 2017, url http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/slits.html [20220328].
2. John M. Santiago, “How to Use Phasors for Circuit Analysis”, from Circuit Analysis For Dummies, Wiley, 26 Mar 2016, url https://www.dummies.com/article/technology/electronics/circuitry/how-to-use-phasors-for-circuit-analysis-166276/ [20220330].
3. Ritesh Kumar Gupta, “Addition of Vectors – Definition, Properties, Formula & Examples”, Embibe, Indiavidual Pvt. Ltd., 31 Jan 2022, url https://www.embibe.com/exams/addition-of-vectors/ [20220330].
4. Les Gates, Rod Pierce, “The Law of Sines”, Math Is Fun, 18 Feb 2020, url https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-sine-law.html [20220331].