partial differential equation

Persamaan diferensial parsial (PDP) merupakan suatu persamaan yang melibatkan fungsi multivariabel dan turunannya [1]. Fungsi yang dimaksud merupakan sesuatu yang belum diketahui dan akan dipecahkan [2]. Metode separasi variabel merupakan salah satu metode yang sering digunakan dalam penyelesaian secara secara analitik [3] dan untuk numerik dapat digunakan beda hingga [4]. Untuk lebih mendalami PDP dapat digunakan berbagai sumber yang tersedia seperti buku [5] dan catatan kuliah [6].

simple example#

Sebagai contoh sederhana dapat dibuat-buat satu fungsi dua variabel yang telah diketahui terlebih dahulu solusinya. Misalkan terdapat fungsi

$$\begin{array}{}\text{(1)}& u(x,y)=e^{\alpha x}\sin \beta y,\end{array}$$

yang turunan-turunannya adalah

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{{\partial }^{n}u}{\partial x^n}={\alpha }^{n}u,\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{{\partial }^{2n-1}u}{\partial y^{2n-1}}=(-1{)}^{n+1}{\beta }^{2n-1}x\cos \beta y,\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \frac{{\partial }^{2n}u}{\partial y^{2n}}=(-1{)}^n{\beta }^{2n}u,\end{array}$$

dengan $n=1,2,3,\dots$. Selanjutnya dapat dituliskan

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \alpha {\beta }^2\frac{\partial u}{\partial x}+{\alpha }^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\beta }^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+{\alpha }^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \frac{{\beta }^2}{\alpha }\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3}+{\alpha }^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0\end{array}$$

sebagai beberapa persamaan diferensial parsialnya. Persamaan $\text{(5)}$, $\text{(6)}$, dan $\text{(7)}$ akan memiliki solusi yang sama, yaitu Persamaan $\text{(1)}$.

wave equation#

Salah satu PDP yang dikenal luas adalah persamaan gelombang

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=0,\end{array}$$

dengan $u$ adalah sesuatu yang tidak diketahui (unknown) yang merupakan fungsi dari $x$ dan $t$. Persamaan $\text{(8)}$ ini dapat dipecahkan salah satunya dengan memisalkan bentuk yang separabel

$$\begin{array}{}\text{(9)}& u=X(x)T(t)\end{array}$$

dengan $X$ hanya fungsi $x$ dan $T$ hanya fungsi $t$. Substitusi Persamaan $\text{(9)}$ ke Persamaan $\text{(8)}$ akan memberikan

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}[X(x)T(t)]}& =& {\displaystyle \frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}[X(x)T(t)]}\\ {\displaystyle T(t)\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}X(x)}& =& {\displaystyle \frac{1}{v^2}X(x)\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}T(t)}\\ {\displaystyle T\frac{d^{2}X}{d{x}^2}}& =& {\displaystyle \frac{1}{v^2}X\frac{d^{2}T}{d{t}^2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{X}\frac{d^{2}X}{d{x}^2}}& =& {\displaystyle \frac{1}{v^2}\frac{1}{T}\frac{d^{2}T}{d{t}^2}}\end{array}\end{array}$$

yang pada baris terakhir masing-masing ruas hanya merupakan fungsi dari satu variabel. Ruas kiri hanya fungsi dari $x$ dan ruang kanan hanya fungsi dari $t$. Kedua ruas dapat disamakan bila keduanya merupakan konstanta, misalkan saja $-k^2$. Dengan demikian dapat dituliskan untuk masing-masing ruang menjadi

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \frac{1}{X}\frac{d^{2}X}{d{x}^2}=-k^2\end{array}$$

dan

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \frac{1}{v^2}\frac{1}{T}\frac{d^{2}T}{d{t}^2}=-k^2.\end{array}$$

x part#

Persamaan $\text{(11)}$ dapat dituliskan kembali menjadi

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \frac{d^{2}X}{d{x}^2}+k^{2}X=0\end{array}$$

yang memiliki solusi

$$\begin{array}{}\text{(14)}& X=A{e}^{\pm ikx}.\end{array}$$

t part#

Persamaan $\text{(12)}$ dapat dituliskan kembali menjadi

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \frac{d^{2}T}{d{t}^2}+{\omega }^2{v}^{2}T=0\end{array}$$

yang memiliki solusi

$$\begin{array}{}\text{(16)}& T=B{e}^{\pm i\omega t}.\end{array}$$

merge solutions#

Substitusi Persamaan $\text{(14)}$ dan $\text{(16)}$ ke Persamaan $\text{(9)}$ akan menghasilkan

$$\begin{array}{}\text{(17)}& u=A{e}^{\pm ikx}B{e}^{\pm i\omega t}=C{e}^{i(\pm kx\pm \omega t)},\end{array}$$

dengan $C$ suatu koefisiensi sembarang sebagaimana halnya $A$ dan $B$. Dari Persamaan $\text{(17)}$ dapat dituliskan

$$\begin{array}{}\text{(18)}& u_{++}=C{e}^{i(+kx+\omega t)},\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(19)}& u_{+-}=C{e}^{i(+kx-\omega t)},\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(20)}& u_{-+}=C{e}^{i(-kx+\omega t)},\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(21)}& u_{--}=C{e}^{i(-kx-\omega t)}.\end{array}$$

Kombinasi linier dari keempat persamaan di atas juga merupkan solusi. Bentuk yang umum digunakan dapat diperoleh dengan

$$\begin{array}{}\text{(22)}& \begin{array}{rcl}u& =& {\displaystyle \frac{u_{+-}-u_{-+}}{2_i}}\\ & =& C\sin (kx-\omega t)\end{array}\end{array}$$

yang merupakan gelombang yang merambat pada arah $x+$.

finite difference#

Dalam metode beda hingga turunan pertama dan kedua dicari dengan menggunaka nilai fungsi. Terdapat pendekatan beda hingga maju, mundur, dan tengah.

1st derivative#

Turunan pertama dengan dapat dituliskan sebagai berikut untuk beda hingga maju

$$\begin{array}{}\text{(23)}& \frac{du}{dx}=\frac{u_{i+1}-u_i}{h}\end{array}$$

dan sebagai berikut untuk beda hingga mundur.

$$\begin{array}{}\text{(24)}& \frac{du}{dx}=\frac{u_i-u_{i-1}}{h}\end{array}$$

Persamaan $\text{(23)}$ dan $\text{(24)}$ akan digunakan untuk mencari turunan kedua.

2nd derivative#

Dengan menggunakan dua kali Persamaan $\text{(23)}$ akan diperoleh

$$\begin{array}{}\text{(25)}& \begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{d^{2}u}{d{x}^2}}& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{u_{i+2}-u_{i+1}}{h}-\frac{u_{i+1}-u_i}{h}}}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{u_{i+2}-2u_{i+1}+u_i}{u^2}}\end{array}\end{array}$$

yang merupakan turunan kedua beda hingga maju. Selanjutnya dengan menggunakan Persamaan $\text{(23)}$ dan $\text{(24)}$ akan dihasilkan

$$\begin{array}{}\text{(26)}& \begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{d^{2}u}{d{x}^2}}& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{u_{i+1}-u_i}{h}-\frac{u_i-u_{i-1}}{h}}}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{u^2}}\end{array}\end{array}$$

yang dikenal sebagai turunan kedua dengan beda hingga tengah. Dan yang terakhir adalah menggunakan Persamaan $\text{(24)}$ dua kali untuk mendapakan

$$\begin{array}{}\text{(27)}& \begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{d^{2}u}{d{x}^2}}& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{u_i-u_{i-1}}{h}-\frac{u_{i-1}-u_{i-2}}{h}}}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{u_i-2u_{i-1}+u_{i-2}}{u^2}}\end{array}\end{array}$$

yang adalah rumusan turunan kedua beda hingga mundur.

solution of wave equation#

Dengan menggunakan metode beda tengah pada Persamaan $\text{(26)}$ dapat dituliskan untuk pada komponen spasial

$$\begin{array}{}\text{(28)}& \frac{d^{2}u}{d{x}^2}=\frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2}\end{array}$$

dan untuk komponen temporal

$$\begin{array}{}\text{(29)}& \frac{d^{2}u}{d{t}^2}=\frac{u^{j+1}-2u^j+u^{j-1}}{l^2}.\end{array}$$

Di sini digunakan indeks bawah untuk komponen spasial yang dalam hal ini dengan variabel $i$ dan indeks atas untuk komponen temporal yang dalam hal ini dengan variabel $j$.

Dengan Persamaan $\text{(28)}$ dan $\text{(29)}$, Persamaan $\text{(8)}$ dapat dituliskan kembali menjadi

$$\begin{array}{}\text{(30)}& \frac{u_{i+1}^j-2u_i^j+u_{i-1}^j}{h^2}=\frac{1}{v^2}\left(\frac{u_i^{j+1}-2u_i^j+u_i^{j-1}}{l^2}\right).\end{array}$$

Suatu variabel tak berdimensi

$$\begin{array}{}\text{(31)}& \gamma =\frac{lv}{h}\end{array}$$

dapat didefinsikan, sehingga Persamaan $\text{(29)}$ dapat dituliskan kembali menjadi

$$\begin{array}{}\text{(32)}& \begin{array}{rcl}{\gamma }^2(u_{i+1}^j-2u_i^j+u_{i-1}^j)& =& {\displaystyle u_i^{j+1}-2u_i^j+u_i^{j-1}}\\ -u_i^{j-1}& & \\ +{\gamma }^2{u}_{i+1}^j+{\gamma }^2{u}_{i-1}^j& & \\ 2(1-{\gamma }^2)u_i^j& =& u_i^{j+1}\end{array}\end{array}$$

yang menggambarkan bagaimana informasi masa depan saat waktu $j+1$ pada suatu posisi $i$ diperoleh bergantung dengan informasi pada posisi yang sama $i$ serta tetangga kiri $i-1$ dan kanannya $i+1$ pada waktu $j$, dan juga pada posisi yang sama $i$ saat waktu lebih belakang $j-1$. Persamaan $\text{(32)}$ tidak digunakan pada batas kiri dan batas kanan karena ketiadaan informasi tetangga di sebelah kiri setelah lewat batas kiri dan di sebelah kanan setelah lewat batas kanan. Untuk itu Persamaan $\text{(30)}$ perlu dimodifikasi dengan memanfaatkan Persamaan $\text{(25)}$ dan $\text{(27)}$. Dengan menggunakan beda hingga maju diperoleh

$$\begin{array}{}\text{(33)}& \begin{array}{rcl}{\gamma }^2(u_{i+2}^j-2u_{i+1}^j+u_i^j)& =& {\displaystyle u_i^{j+1}-2u_i^j+u_i^{j-1}}\\ -u_i^{j-1}& & \\ +{\gamma }^2{u}_{i+2}^j-2{\gamma }^2{u}_{i+1}^j& & \\ (2+{\gamma }^2)u_i^j& =& u_i^{j+1}\end{array}\end{array}$$

dan dengan beda hingga mundur didapatkan

$$\begin{array}{}\text{(34)}& \begin{array}{rcl}{\gamma }^2(u_i^j-2u_{i-1}^j+u_{i-2}^j)& =& {\displaystyle u_i^{j+1}-2u_i^j+u_i^{j-1}}\\ -u_i^{j-1}& & \\ +{\gamma }^2{u}_{i-2}^j-2{\gamma }^2{u}_{i-1}^j& & \\ (2+{\gamma }^2)u_i^j& =& u_i^{j+1}\end{array}\end{array}$$

..

notes#

1. Eric W. Weisstein, “Partial Differential Equation,” from MathWorld–A Wolfram Web Resource, Wolfram Research, Inc., 21 Mar 2022, url https://mathworld.wolfram.com/PartialDifferentialEquation.html [20220323].
2. Wikipedia contributors, “Partial differential equation”, Wikipedia, The Free Encyclopedia, 2 February 2022, 09:59 UTC, url https://en.wikipedia.org/w/index.php?oldid=1069442522 [20220323].
3. Paul Dawkins, “Partial Differential Equations”, Paul’s Online Notes, 6 Jun 2018, url https://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/intropde.aspx [20220323].
4. Neil Gershenfeld, “Finite Differences: Partial Differential Equations”, MAS 864 The Nature of Mathematical Modeling, 2020, url http://fab.cba.mit.edu/classes/864.20/text/pde_diff.pdf [20220323].
5. Walter A. Strauss, “Partial Differential Equation: An Introduction”, John Wiley & Sons, Inc., 2nd Edition, 2008, url https://isbnsearch.org/isbn/9780470054567 [20220323]. PDF
6. Erich Miersemann, “Partial Differential Equations”, Lecture Notes, Department of Mathematics, Leipzig University, Oct 2012, url https://www.math.uni-leipzig.de/~miersemann/pdebook.pdf [20220323].