curl theorem

Teorema curl merupakan suatu kasus khusus dari teorema Stokes dan suatu generalisasi dari Teorema Green [1]. Teorema ini menghubungkan antara integral suatu curl medan vektor pada suatu permukaan dengan integral garis medan vektor mengelilingi batas permukaan tersebut [2]. Dengan teorema ini dapat diperoleh persamaan-persamaan Maxwell bentuk integral dari bentuk diferensial atau sebaliknya [3].

nabla#

Operator nabla dalam koordinat kartesian memiliki bentuk [4]

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}=\hat{x}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial }{\partial z}\end{array}$$

dan bila diterapkan, misalnya pada suatu vektor $\overrightarrow{F}$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \overrightarrow{F}=\hat{x}{F}_x+\hat{y}{F}_y+\hat{z}{F}_z\end{array}$$

dalam bentuk perkalian silang akan memberikan [5]

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{F}& =& {\displaystyle \hat{x}(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z})}\\ & & {\displaystyle +\hat{y}(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x})}\\ & & {\displaystyle +\hat{z}(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}),}\end{array}\end{array}$$

yang disebut sebagai curl dari $\overrightarrow{F}$. Secara umum $F_x=F_x(x,y,z)$, $F_y=F_y(x,y,z)$, dan $F_z=F_z(x,y,z)$.

theorem#

Teorema curl secara sederhana dapat dituliskan sebagai

$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\int }_A(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{F})\cdot d\overrightarrow{A}={\oint }_l\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}\end{array}$$

dengan $A$ adalah suatu permukaan melengkung dan $l$ adalah lintasan tertutup pada batas permukaan.

Hubungan antara lintasan tertutup pada batas permukaan $l$ dan permukaannya $A$ diberikan pada Gambar 1.

faraday’s law#

Medan listrik $\overrightarrow{E}$ terkait dengan potensialnya melalui

$$\begin{array}{}\text{(5)}& V=\int \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}.\end{array}$$

Bila integral Pada Persamaan $\text{(5)}$ dilakukan dari suatu titik dan kembali ke titik tersebut maka akan diperoleh

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=0\end{array}$$

dikarena sifat $\overrightarrow{E}$ yang merupakan medan dari gaya elektrostatik yang merupakan gaya konservatif. Salah satu penerapannya adalah hukum II Kirchhoff

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \sum _{\begin{array}{c}a\to b\\ b\to a\end{array}}V=0\end{array}$$

yang menggambarkan jumlah perubahan potensial pada suatu loop tertutup adalah nol, yang dapat terlihat dari penerapan Persamaan $\text{(6)}$ pada Persamaan $\text{(5)}$.

Hukum Faraday-Lenz dalam bentuk

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \epsilon =-\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}\end{array}$$

yang menggambarkan munculnya ggl induksi pada suatu loop tertutup yang fluks magnetiknya berubah dengan waktu. Ggl induksi $\epsilon$ ini tidak lain adalah potensial listrik $V$ pada suatu loop tertutup. Perhatikan bahwa ggl induksi pada Persamaan $\text{(8)}$ ini akan membuat suku di sebelah kanan dari Persamaan $\text{(6)}$ tidak lagi nol yang dituliskan sebagai

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=-\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt},\end{array}$$

dengan

$$\begin{array}{}\text{(10)}& {\mathrm{\Phi }}_B=\int \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{A}\end{array}$$

adalah fluks medan magnetiknya.

Persamaan $\text{(6)}$ dan $\text{(7)}$ berlaku pada loop tertutup yang fluks magnetiknya tidak berubah terhadap waktu. Dan saat fluks magnetiknya berubah terhadap waktu akan berlaku Persamaan $\text{(9)}$. Kedua peristiwa ini diilustasikan pada Gambar 2.

ampere’s law#

Hukum Ampere dengan adanya perubahan medan fluks medan listrik dapat dituliskan sebagai

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}={\mu }_{o}I+\frac{1}{c^2}\frac{d{\mathrm{\Phi }}_E}{dt},\end{array}$$

dengan

$$\begin{array}{}\text{(12)}& {\mathrm{\Phi }}_E=\int \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}\end{array}$$

adalah fluks medan listriknya.

current density#

Terdapat hubungan

$$\begin{array}{}\text{(13)}& I=\int \overrightarrow{J}\cdot d\overrightarrow{A}\end{array}$$

yang mengaitkan antara arus $I$ dengan rapat arus \vec{J} yang melalui suatu elemen permukaan $d\overrightarrow{A}$. Dapat pula dituliskan

$$\begin{array}{}\text{(14)}& J=\frac{dI}{dA}\end{array}$$

sebagai bentuk diferensialnya, di mana telah diambil bahwa arah $\overrightarrow{J}$ sejajar dengan arah $d\overrightarrow{A}$.

use#

Di sini hanya akan disinggung pemanfaatan teorema curl yang diberikan oleh Persamaan $\text{(4)}$ pada hukum induksi Faraday-Lenz dan hukum Ampere.

curl of e#

Substitusi Persamaan $\text{(10)}$ ke Persamaan $\text{(9)}$, serta penerapan Persamaan $\text{(4)}$ akan menghasilkan

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \begin{array}{rcl}{\displaystyle \oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}}& =& {\displaystyle -\frac{d}{dt}\int \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{A}}\\ & =& {\displaystyle -\int \frac{d\overrightarrow{B}}{dt}\cdot d\overrightarrow{A}}\\ {\displaystyle \int (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E})\cdot d\overrightarrow{A}}& =& \end{array}\end{array}$$

sehingga dapat diperoleh

$$\begin{array}{}\text{(16)}& \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E}=-\frac{d\overrightarrow{B}}{dt}\end{array}$$

yang merupakan persamaan ketiga dari persamaan-persamaan Maxwell.

curl of b#

Substitusi Persamaan $\text{(12)}$ dan $\text{(13)}$ ke Persamaan $\text{(11)}$, serta penerapaan Persamaan $\text{(4)}$, akan menghasilkan

$$\begin{array}{}\text{(17)}& \begin{array}{rcl}{\displaystyle \oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}}& =& {\displaystyle {\mu }_o\int \overrightarrow{J}\cdot d\overrightarrow{A}+\frac{1}{c^2}\frac{d}{dt}\int \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}}\\ & =& {\displaystyle \int {\mu }_o\overrightarrow{J}\cdot d\overrightarrow{A}+\int \frac{1}{c^2}\frac{d\overrightarrow{E}}{dt}\cdot d\overrightarrow{A}}\\ & =& {\displaystyle \int ({\mu }_o\overrightarrow{J}+\frac{1}{c^2}\frac{d\overrightarrow{E}}{dt})\cdot d\overrightarrow{A}}\\ {\displaystyle \int (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{B})\cdot d\overrightarrow{A}}& =& \end{array}\end{array}$$

sehingga dapat diperoleh

$$\begin{array}{}\text{(18)}& \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{B}={\mu }_o\overrightarrow{J}+\frac{1}{c^2}\frac{d\overrightarrow{E}}{dt},\end{array}$$

yang merupakan persamaan keempat dari persaman-persamaan Maxwell.

exer#

1. Bagaimana menunjukkan bahwa suku kedua para ruas kanan Persamaan $\text{(11)}$ telah sama satuannya dengan ruas kirinya? Gunakan analisis satuan.

notes#

1. Eric W. Weisstein, “Curl Theorem”, from MathWorld–A Wolfram Web Resource, Wolfram Research, Inc., 2022, url https://mathworld.wolfram.com/CurlTheorem.html [20220323].
2. Wikipedia contributors, “Stokes’ theorem”, Wikipedia, The Free Encyclopedia, 17 March 2022, 13:02 UTC, url https://en.wikipedia.org/w/index.php?oldid=1077649345 [20220323].
3. Carl Rod Nave, “Maxwell’s Equations”, HyperPhysics, 2017, url http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/maxeq.html [20220323].
4. Wikipedia-Autoren, “Nabla-Operator”, Wikipedia – Die freie Enzyklopädie, 15. August 2021, 18:44 UTC, url https://de.wikipedia.org/w/index.php?oldid=214790423 [20220323].
5. Eric W. Weisstein, “Curl”, from MathWorld–A Wolfram Web Resource, Wolfram Research, Inc., 2022, url https://mathworld.wolfram.com/Curl.html [20220323].