Suatu benda yang bergerak dalam satu-dimensi dengan gerak harmonis sederhana (GHS), atau simple harmonic motion (SHM), memiliki solusi yang telah umum dikenal. Penerapan syarat awal yang berbeda akan memberikan penjelasan mengenai koefisien-koefisien pada solusi umum tersebut.

equation of motion and solutions Link to heading

Sebuah benda dengan persamaan gerak

d2xdt2+ω2x=0(1)\tag{1} \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x = 0

akan memiliki solusi untuk posisinya xx dalam bentuk

x=Asin(ωt+φ0),(2)\tag{2} x = A \sin (\omega t + \varphi_0),

dengan simpangan xx, amplitudo simpangan AA, frekuensi angular ω\omega, dan fasa awal φ0\varphi_0. Selanjutnya, solusi untuk kecepatan vv benda saat tt adalah

v=ωAcos(ωt+φ0),(3)\tag{3} v = \omega A \cos (\omega t + \varphi_0),

dengan vmax=ωAv_{\max} = \omega A adalah amplitudo kecepatan atau laju maksimum benda. Dengan cara yang sama dapat ditulskan bahwa xmax=Ax_{\max} = A adalah simpangan maksimum.

initial conditions Link to heading

Solusi persamaan gerak sistem GHS pada Persamaan (1) memerlukan dua syarat awal saat t=t0t = t_0, yaitu x(t0)=x0x(t_0) = x_0 dan v(t0)=v0v(t_0) = v_0, yang untuk memudahkan dipilih t0=0t_0 = 0.

x00x_0 \ne 0, v0=0v_0 = 0 Link to heading

Benda, massa yang terikat pegas atau bandul yang terikat tali, diberi simpangan awal x0x_0 dan dilepas tanpa kecepatan awal atau v0=0v_0 = 0 saat t=0t = 0, maka dari Persamaan (1) dapat diperoleh

x=Asin(ωt+φ0)x(0)=Asin(ω0+φ0)x0=Asinφ0(4)\tag{4} \begin{array}{rcl} x & = & A \sin (\omega t + \varphi_0) \newline x(0) & = & A \sin (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline x_0 & = & A \sin \varphi_0 \end{array}

dan dari turunan Persamaan (1) terhadap waktu tt diperoleh

v=ωAcos(ωt+φ0)v(0)=ωAcos(ω0+φ0)v0=ωAcosφ0.(5)\tag{5} \begin{array}{rcl} v & = & \omega A \cos (\omega t + \varphi_0) \newline v(0) & = & \omega A \cos (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline v_0 & = & \omega A \cos \varphi_0. \end{array}

Dikarenakan v0=0v_0 = 0 maka dari Persamaan (5) diperoleh φ0=(n+12)π\varphi_0 = (n + \tfrac12) \pi dengan n=0,1,2,..n = 0, 1, 2, ... Bila dipih n=0n = 0, diperoleh φ0=12π\varphi_0 = \tfrac12 \pi, sehingga Persamaan (4) akan menjadi

x0=Asin12π=A,(6)\tag{6} \begin{array}{rcl} x_0 & = & A \sin \tfrac12 \pi \newline & = & A, \end{array}

yang memberikan nilai amplitudo AA. Dengan hasil dari Persamaan (6), Persamaan (1) dapat dituliskan kembali menjadi

x=x0sin(ωt+12π),(7)\tag{7} x = x_0 \sin (\omega t + \tfrac12 \pi),

yang merupakan solusi khusus dari sistem GHS dengan syarat awal x(0)=x0x(0) = x_0 dan v(0)=0v(0) = 0.

x0=0x_0 = 0, v00v_0 \ne 0 Link to heading

Benda, massa yang terikat pegas atau bandul yang terikat tali, pada posisi kesetimbangannya atau x0=0x_0 = 0 diberi kecepatan awal v0v_0 saat t=0t = 0, maka dari Persamaan (1) dapat diperoleh

x=Asin(ωt+φ0)x(0)=Asin(ω0+φ0)0=Asinφ0(8)\tag{8} \begin{array}{rcl} x & = & A \sin (\omega t + \varphi_0) \newline x(0) & = & A \sin (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline 0 & = & A \sin \varphi_0 \end{array}

dan dari turunan Persamaan (1) terhadap waktu tt diperoleh

v=ωAcos(ωt+φ0)v(0)=ωAcos(ω0+φ0)v0=ωAcosφ0.(9)\tag{9} \begin{array}{rcl} v & = & \omega A \cos (\omega t + \varphi_0) \newline v(0) & = & \omega A \cos (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline v_0 & = & \omega A \cos \varphi_0. \end{array}

Selanjutnya, dikarenakan x0=0x_0 = 0 maka dari Persamaan (8) diperoleh φ0=nπ\varphi_0 = n \pi dengan n=0,1,2,..n = 0, 1, 2, ... Bila dipih n=0n = 0, diperoleh φ0=0\varphi_0 = 0, sehingga Persamaan (9) akan menjadi

v0=ωAcos0=ωA,(10)\tag{10} \begin{array}{rcl} v_0 & = & \omega A \cos 0 \newline & = & \omega A, \end{array}

yang memberikan nilai amplitudo A=v0/ωA = v_0 / \omega . Dengan hasil dari Persamaan (10), Persamaan (1) dapat dituliskan kembali menjadi

x=v0ωsinωt,(11)\tag{11} x = \frac{v_0}{\omega} \sin \omega t,

yang merupakan solusi khusus dari sistem GHS dengan syarat awal x(0)=0x(0) = 0 dan v(0)=v0v(0) = v_0.

x00x_0 \ne 0, v00v_0 \ne 0 Link to heading

Benda, massa yang terikat pegas atau bandul yang terikat tali, pada posisi tertentu x0=0x_0 = 0 diberi kecepatan awal v0v_0 saat t = 00, maka dari Persamaan (1) dapat diperoleh

x=Asin(ωt+φ0)x(0)=Asin(ω0+φ0)x0=Asinφ0(12)\tag{12} \begin{array}{rcl} x & = & A \sin (\omega t + \varphi_0) \newline x(0) & = & A \sin (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline x_0 & = & A \sin \varphi_0 \end{array}

dan dari turunan Persamaan (1) terhadap waktu tt diperoleh

v=ωAcos(ωt+φ0)v(0)=ωAcos(ω0+φ0)v0=ωAcosφ0.(13)\tag{13} \begin{array}{rcl} v & = & \omega A \cos (\omega t + \varphi_0) \newline v(0) & = & \omega A \cos (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline v_0 & = & \omega A \cos \varphi_0. \end{array}

Terdapat dua persamaan, yaitu Persamaan (12) dan (13) dan dua parameter yang tidak diketahui, yaitu AA dan φ0\varphi_0, yang seharusnya dapat diperoleh.

Persamaan (12) dibagi Persamaan (13) akan memberikan

tanφ0=x0v0/ω=ωx0v0,(14)\tag{14} \tan \varphi_0 = \frac{x_0}{v_0/\omega} = \frac{\omega x_0}{v_0},

sinφ0=ωx0ω2x02+v02,(15)\tag{15} \sin \varphi_0 = \frac{\omega x_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}},

cosφ0=v0ω2x02+v02.(16)\tag{16} \cos \varphi_0 = \frac{v_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}}.

Substitusi Persamaan (15) ke Persamaan (12) atau Persamaan (16) ke Persamaan (13) akan memberikan

x0=A ωx0ω2x02+v02A=ω2x02+v02ω=x02+(v0/ω)2.(17)\tag{17} \begin{array}{rcl} x_0 & = & \displaystyle A \ \frac{\omega x_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}} \newline &&\newline A & = & \displaystyle \frac{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}}{\omega} \newline & = & \sqrt{x_0^2 + (v_0 / \omega)^2}. \end{array}

Substitusi Persamaan (15) dan (17) ke Persamaan (1) akan memberikan

x=[x02+(v0ω)2]12 sin[ωt+arcsin(ωx0ω2x02+v02)](18)\tag{18} x = \left[ x_0^2 + \left( \frac{v_0}{\omega} \right)^2 \right]^{\frac12} \ \sin \left[ \omega t + \arcsin \left( \frac{\omega x_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}} \right) \right]

yang merupakan solusi khusus dari sistem GHS dengan syarat awal x(0)=x0x(0) = x_0 dan v(0)=v0v(0) = v_0.

mechanical energy Link to heading

Energi kinetik sistem yang bergerak mengikuti gerak harmonik sederhana (GHS) diberikan oleh

K=12mω2A2cos2(ωt+φ0),(19)\tag{19} K = \tfrac12 m \omega^2 A^2 \cos^2 (\omega t + \varphi_0),

yang untuk sistem pegas-benda (pegas berkonstanta kk dan benda bermassa mm) akan menjadi

K=12kA2cos2(ωt+φ0),(20)\tag{20} K = \tfrac12 k A^2 \cos^2 (\omega t + \varphi_0),

dengan ω=k/m\omega = \sqrt{k/m}. Energi potensial pegas adalah

U=12kx2=12kA2sin2(ωt+φ0),(21)\tag{21} U = \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2 \sin^2 (\omega t + \varphi_0),

sehingga, dengan hubungan E=K+UE = K + U, dapat diperoleh energi total

E=12kA2,(22)\tag{22} E = \tfrac12 k A^2,

yang merupakan energi mekanik sistem.

velocity as function of position Link to heading

Dengan energi mekanik sistem GHS

E=K+U(23)\tag{23} E = K + U

dan E=12kA2E = \tfrac12 kA^2, K=12mv2K = \tfrac12 m v^2, U=12kx2U = \tfrac12 k x^2 dapat dituliskan

K=EU=12kA212kx2(24)\tag{24} K = E - U = \tfrac12 k A^2 - \tfrac12 k x^2

dan lebih lanjut dapat diperoleh

v=ωA2x2,(25)\tag{25} v = \omega \sqrt{A^2 - x^2},

yang memberikan v=v(x)v = v(x), di mana ω=k/m\omega = \sqrt{k/m}. Perhatikan bahwa Persamaan (25) ini berlaku untuk GHS berupa sistem pegas-benda, sedangkan untuk sistem bandul matematis akan diperoleh rumusan yang sedikit berbeda.

questions Link to heading

  1. Tunjukkan bahwa Persamaan (2) merupakan solusi dari Persamaan (1) dengan melakukan substitusi Persamaan (2) ke Persamaan (1).
  2. Apakah nilai φ0\varphi_0 pada Persamaan (2) mempengaruhi bentuk persamaan gerak benda pada Persamaan (1)?
  3. Dengan menggunakan hubungan antara besaran-besaran kinematika, tunjukkan bagaimana Persamaan (3) diperoleh dari Persamaan (2).
  4. Bagaimanakah bentuk Persamaan (19)-(22) untuk sistem bandul matematis dengan simpangan kecil?
  5. Dengan menggunakan Persamaan (25) rumuskan posisi sebagai fungsi dari kecepatan x=x(v)x = x(v), lalu berikan contoh pemanfaatannya.
  6. Untuk sistem bandul matematis perolehkan rumusan untuk θ=θ(ω)\theta = \theta(\omega) dan ω=ω(θ)\omega = \omega(\theta), yang mirip dengan Persamaan (25).