Suatu benda yang bergerak dalam satu-dimensi dengan gerak harmonis sederhana (GHS), atau simple harmonic motion (SHM), memiliki solusi yang telah umum dikenal. Penerapan syarat awal yang berbeda akan memberikan penjelasan mengenai koefisien-koefisien pada solusi umum tersebut.
equation of motion and solutions Link to heading
Sebuah benda dengan persamaan gerak
$$\tag{1} \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 $$
akan memiliki solusi untuk posisinya $x$ dalam bentuk
$$\tag{2} x = A \sin (\omega t + \varphi_0), $$
dengan simpangan $x$, amplitudo simpangan $A$, frekuensi angular $\omega$, dan fasa awal $\varphi_0$. Selanjutnya, solusi untuk kecepatan $v$ benda saat $t$ adalah
$$\tag{3} v = \omega A \cos (\omega t + \varphi_0), $$
dengan $v_{\max} = \omega A$ adalah amplitudo kecepatan atau laju maksimum benda. Dengan cara yang sama dapat ditulskan bahwa $x_{\max} = A$ adalah simpangan maksimum.
initial conditions Link to heading
Solusi persamaan gerak sistem GHS pada Persamaan (1) memerlukan dua syarat awal saat $t = t_0$, yaitu $x(t_0) = x_0$ dan $v(t_0) = v_0$, yang untuk memudahkan dipilih $t_0 = 0$.
$x_0 \ne 0$, $v_0 = 0$ Link to heading
Benda, massa yang terikat pegas atau bandul yang terikat tali, diberi simpangan awal $x_0$ dan dilepas tanpa kecepatan awal atau $v_0 = 0$ saat $t = 0$, maka dari Persamaan (1) dapat diperoleh
$$\tag{4} \begin{array}{rcl} x & = & A \sin (\omega t + \varphi_0) \newline x(0) & = & A \sin (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline x_0 & = & A \sin \varphi_0 \end{array} $$
dan dari turunan Persamaan (1) terhadap waktu $t$ diperoleh
$$\tag{5} \begin{array}{rcl} v & = & \omega A \cos (\omega t + \varphi_0) \newline v(0) & = & \omega A \cos (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline v_0 & = & \omega A \cos \varphi_0. \end{array} $$
Dikarenakan $v_0 = 0$ maka dari Persamaan (5) diperoleh $\varphi_0 = (n + \tfrac12) \pi$ dengan $n = 0, 1, 2, ..$. Bila dipih $n = 0$, diperoleh $\varphi_0 = \tfrac12 \pi$, sehingga Persamaan (4) akan menjadi
$$\tag{6} \begin{array}{rcl} x_0 & = & A \sin \tfrac12 \pi \newline & = & A, \end{array} $$
yang memberikan nilai amplitudo $A$. Dengan hasil dari Persamaan (6), Persamaan (1) dapat dituliskan kembali menjadi
$$\tag{7} x = x_0 \sin (\omega t + \tfrac12 \pi), $$
yang merupakan solusi khusus dari sistem GHS dengan syarat awal $x(0) = x_0$ dan $v(0) = 0$.
$x_0 = 0$, $v_0 \ne 0$ Link to heading
Benda, massa yang terikat pegas atau bandul yang terikat tali, pada posisi kesetimbangannya atau $x_0 = 0$ diberi kecepatan awal $v_0$ saat $t = 0$, maka dari Persamaan (1) dapat diperoleh
$$\tag{8} \begin{array}{rcl} x & = & A \sin (\omega t + \varphi_0) \newline x(0) & = & A \sin (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline 0 & = & A \sin \varphi_0 \end{array} $$
dan dari turunan Persamaan (1) terhadap waktu $t$ diperoleh
$$\tag{9} \begin{array}{rcl} v & = & \omega A \cos (\omega t + \varphi_0) \newline v(0) & = & \omega A \cos (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline v_0 & = & \omega A \cos \varphi_0. \end{array} $$
Selanjutnya, dikarenakan $x_0 = 0$ maka dari Persamaan (8) diperoleh $\varphi_0 = n \pi$ dengan $n = 0, 1, 2, ..$. Bila dipih $n = 0$, diperoleh $\varphi_0 = 0$, sehingga Persamaan (9) akan menjadi
$$\tag{10} \begin{array}{rcl} v_0 & = & \omega A \cos 0 \newline & = & \omega A, \end{array} $$
yang memberikan nilai amplitudo $A = v_0 / \omega $. Dengan hasil dari Persamaan (10), Persamaan (1) dapat dituliskan kembali menjadi
$$\tag{11} x = \frac{v_0}{\omega} \sin \omega t, $$
yang merupakan solusi khusus dari sistem GHS dengan syarat awal $x(0) = 0$ dan $v(0) = v_0$.
$x_0 \ne 0$, $v_0 \ne 0$ Link to heading
Benda, massa yang terikat pegas atau bandul yang terikat tali, pada posisi tertentu $x_0 = 0$ diberi kecepatan awal $v_0$ saat t = $0$, maka dari Persamaan (1) dapat diperoleh
$$\tag{12} \begin{array}{rcl} x & = & A \sin (\omega t + \varphi_0) \newline x(0) & = & A \sin (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline x_0 & = & A \sin \varphi_0 \end{array} $$
dan dari turunan Persamaan (1) terhadap waktu $t$ diperoleh
$$\tag{13} \begin{array}{rcl} v & = & \omega A \cos (\omega t + \varphi_0) \newline v(0) & = & \omega A \cos (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline v_0 & = & \omega A \cos \varphi_0. \end{array} $$
Terdapat dua persamaan, yaitu Persamaan (12) dan (13) dan dua parameter yang tidak diketahui, yaitu $A$ dan $\varphi_0$, yang seharusnya dapat diperoleh.
Persamaan (12) dibagi Persamaan (13) akan memberikan
$$\tag{14} \tan \varphi_0 = \frac{x_0}{v_0/\omega} = \frac{\omega x_0}{v_0}, $$
$$\tag{15} \sin \varphi_0 = \frac{\omega x_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}}, $$
$$\tag{16} \cos \varphi_0 = \frac{v_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}}. $$
Substitusi Persamaan (15) ke Persamaan (12) atau Persamaan (16) ke Persamaan (13) akan memberikan
$$\tag{17} \begin{array}{rcl} x_0 & = & \displaystyle A \ \frac{\omega x_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}} \newline &&\newline A & = & \displaystyle \frac{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}}{\omega} \newline & = & \sqrt{x_0^2 + (v_0 / \omega)^2}. \end{array} $$
Substitusi Persamaan (15) dan (17) ke Persamaan (1) akan memberikan
$$\tag{18} x = \left[ x_0^2 + \left( \frac{v_0}{\omega} \right)^2 \right]^{\frac12} \ \sin \left[ \omega t + \arcsin \left( \frac{\omega x_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}} \right) \right] $$
yang merupakan solusi khusus dari sistem GHS dengan syarat awal $x(0) = x_0$ dan $v(0) = v_0$.
mechanical energy Link to heading
Energi kinetik sistem yang bergerak mengikuti gerak harmonik sederhana (GHS) diberikan oleh
$$\tag{19} K = \tfrac12 m \omega^2 A^2 \cos^2 (\omega t + \varphi_0), $$
yang untuk sistem pegas-benda (pegas berkonstanta $k$ dan benda bermassa $m$) akan menjadi
$$\tag{20} K = \tfrac12 k A^2 \cos^2 (\omega t + \varphi_0), $$
dengan $\omega = \sqrt{k/m}$. Energi potensial pegas adalah
$$\tag{21} U = \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2 \sin^2 (\omega t + \varphi_0), $$
sehingga, dengan hubungan $E = K + U$, dapat diperoleh energi total
$$\tag{22} E = \tfrac12 k A^2, $$
yang merupakan energi mekanik sistem.
velocity as function of position Link to heading
Dengan energi mekanik sistem GHS
$$\tag{23} E = K + U $$
dan $E = \tfrac12 kA^2$, $K = \tfrac12 m v^2$, $U = \tfrac12 k x^2$ dapat dituliskan
$$\tag{24} K = E - U = \tfrac12 k A^2 - \tfrac12 k x^2 $$
dan lebih lanjut dapat diperoleh
$$\tag{25} v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}, $$
yang memberikan $v = v(x)$, di mana $\omega = \sqrt{k/m}$. Perhatikan bahwa Persamaan (25) ini berlaku untuk GHS berupa sistem pegas-benda, sedangkan untuk sistem bandul matematis akan diperoleh rumusan yang sedikit berbeda.
questions Link to heading
- Tunjukkan bahwa Persamaan (2) merupakan solusi dari Persamaan (1) dengan melakukan substitusi Persamaan (2) ke Persamaan (1).
- Apakah nilai $\varphi_0$ pada Persamaan (2) mempengaruhi bentuk persamaan gerak benda pada Persamaan (1)?
- Dengan menggunakan hubungan antara besaran-besaran kinematika, tunjukkan bagaimana Persamaan (3) diperoleh dari Persamaan (2).
- Bagaimanakah bentuk Persamaan (19)-(22) untuk sistem bandul matematis dengan simpangan kecil?
- Dengan menggunakan Persamaan (25) rumuskan posisi sebagai fungsi dari kecepatan $x = x(v)$, lalu berikan contoh pemanfaatannya.
- Untuk sistem bandul matematis perolehkan rumusan untuk $\theta = \theta(\omega)$ dan $\omega = \omega(\theta)$, yang mirip dengan Persamaan (25).