Suatu benda yang bergerak dalam satu-dimensi dengan gerak harmonis sederhana (GHS), atau simple harmonic motion (SHM), memiliki solusi yang telah umum dikenal. Penerapan syarat awal yang berbeda akan memberikan penjelasan mengenai koefisien-koefisien pada solusi umum tersebut.

equation of motion and solutions Link to heading

Sebuah benda dengan persamaan gerak

$$\tag{1} \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$$

akan memiliki solusi untuk posisinya $x$ dalam bentuk

$$\tag{2} x = A \sin (\omega t + \varphi_0),$$

dengan simpangan $x$, amplitudo simpangan $A$, frekuensi angular $\omega$, dan fasa awal $\varphi_0$. Selanjutnya, solusi untuk kecepatan $v$ benda saat $t$ adalah

$$\tag{3} v = \omega A \cos (\omega t + \varphi_0),$$

dengan $v_{\max} = \omega A$ adalah amplitudo kecepatan atau laju maksimum benda. Dengan cara yang sama dapat ditulskan bahwa $x_{\max} = A$ adalah simpangan maksimum.

initial conditions Link to heading

Solusi persamaan gerak sistem GHS pada Persamaan (1) memerlukan dua syarat awal saat $t = t_0$, yaitu $x(t_0) = x_0$ dan $v(t_0) = v_0$, yang untuk memudahkan dipilih $t_0 = 0$.

$x_0 \ne 0$, $v_0 = 0$ Link to heading

Benda, massa yang terikat pegas atau bandul yang terikat tali, diberi simpangan awal $x_0$ dan dilepas tanpa kecepatan awal atau $v_0 = 0$ saat $t = 0$, maka dari Persamaan (1) dapat diperoleh

$$\tag{4} \begin{array}{rcl} x & = & A \sin (\omega t + \varphi_0) \newline x(0) & = & A \sin (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline x_0 & = & A \sin \varphi_0 \end{array}$$

dan dari turunan Persamaan (1) terhadap waktu $t$ diperoleh

$$\tag{5} \begin{array}{rcl} v & = & \omega A \cos (\omega t + \varphi_0) \newline v(0) & = & \omega A \cos (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline v_0 & = & \omega A \cos \varphi_0. \end{array}$$

Dikarenakan $v_0 = 0$ maka dari Persamaan (5) diperoleh $\varphi_0 = (n + \tfrac12) \pi$ dengan $n = 0, 1, 2, ..$. Bila dipih $n = 0$, diperoleh $\varphi_0 = \tfrac12 \pi$, sehingga Persamaan (4) akan menjadi

$$\tag{6} \begin{array}{rcl} x_0 & = & A \sin \tfrac12 \pi \newline & = & A, \end{array}$$

yang memberikan nilai amplitudo $A$. Dengan hasil dari Persamaan (6), Persamaan (1) dapat dituliskan kembali menjadi

$$\tag{7} x = x_0 \sin (\omega t + \tfrac12 \pi),$$

yang merupakan solusi khusus dari sistem GHS dengan syarat awal $x(0) = x_0$ dan $v(0) = 0$.

$x_0 = 0$, $v_0 \ne 0$ Link to heading

Benda, massa yang terikat pegas atau bandul yang terikat tali, pada posisi kesetimbangannya atau $x_0 = 0$ diberi kecepatan awal $v_0$ saat $t = 0$, maka dari Persamaan (1) dapat diperoleh

$$\tag{8} \begin{array}{rcl} x & = & A \sin (\omega t + \varphi_0) \newline x(0) & = & A \sin (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline 0 & = & A \sin \varphi_0 \end{array}$$

dan dari turunan Persamaan (1) terhadap waktu $t$ diperoleh

$$\tag{9} \begin{array}{rcl} v & = & \omega A \cos (\omega t + \varphi_0) \newline v(0) & = & \omega A \cos (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline v_0 & = & \omega A \cos \varphi_0. \end{array}$$

Selanjutnya, dikarenakan $x_0 = 0$ maka dari Persamaan (8) diperoleh $\varphi_0 = n \pi$ dengan $n = 0, 1, 2, ..$. Bila dipih $n = 0$, diperoleh $\varphi_0 = 0$, sehingga Persamaan (9) akan menjadi

$$\tag{10} \begin{array}{rcl} v_0 & = & \omega A \cos 0 \newline & = & \omega A, \end{array}$$

yang memberikan nilai amplitudo $A = v_0 / \omega$. Dengan hasil dari Persamaan (10), Persamaan (1) dapat dituliskan kembali menjadi

$$\tag{11} x = \frac{v_0}{\omega} \sin \omega t,$$

yang merupakan solusi khusus dari sistem GHS dengan syarat awal $x(0) = 0$ dan $v(0) = v_0$.

$x_0 \ne 0$, $v_0 \ne 0$ Link to heading

Benda, massa yang terikat pegas atau bandul yang terikat tali, pada posisi tertentu $x_0 = 0$ diberi kecepatan awal $v_0$ saat t = $0$, maka dari Persamaan (1) dapat diperoleh

$$\tag{12} \begin{array}{rcl} x & = & A \sin (\omega t + \varphi_0) \newline x(0) & = & A \sin (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline x_0 & = & A \sin \varphi_0 \end{array}$$

dan dari turunan Persamaan (1) terhadap waktu $t$ diperoleh

$$\tag{13} \begin{array}{rcl} v & = & \omega A \cos (\omega t + \varphi_0) \newline v(0) & = & \omega A \cos (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline v_0 & = & \omega A \cos \varphi_0. \end{array}$$

Terdapat dua persamaan, yaitu Persamaan (12) dan (13) dan dua parameter yang tidak diketahui, yaitu $A$ dan $\varphi_0$, yang seharusnya dapat diperoleh.

Persamaan (12) dibagi Persamaan (13) akan memberikan

$$\tag{14} \tan \varphi_0 = \frac{x_0}{v_0/\omega} = \frac{\omega x_0}{v_0},$$

$$\tag{15} \sin \varphi_0 = \frac{\omega x_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}},$$

$$\tag{16} \cos \varphi_0 = \frac{v_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}}.$$

Substitusi Persamaan (15) ke Persamaan (12) atau Persamaan (16) ke Persamaan (13) akan memberikan

$$\tag{17} \begin{array}{rcl} x_0 & = & \displaystyle A \ \frac{\omega x_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}} \newline &&\newline A & = & \displaystyle \frac{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}}{\omega} \newline & = & \sqrt{x_0^2 + (v_0 / \omega)^2}. \end{array}$$

Substitusi Persamaan (15) dan (17) ke Persamaan (1) akan memberikan

$$\tag{18} x = \left[ x_0^2 + \left( \frac{v_0}{\omega} \right)^2 \right]^{\frac12} \ \sin \left[ \omega t + \arcsin \left( \frac{\omega x_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}} \right) \right]$$

yang merupakan solusi khusus dari sistem GHS dengan syarat awal $x(0) = x_0$ dan $v(0) = v_0$.

mechanical energy Link to heading

Energi kinetik sistem yang bergerak mengikuti gerak harmonik sederhana (GHS) diberikan oleh

$$\tag{19} K = \tfrac12 m \omega^2 A^2 \cos^2 (\omega t + \varphi_0),$$

yang untuk sistem pegas-benda (pegas berkonstanta $k$ dan benda bermassa $m$) akan menjadi

$$\tag{20} K = \tfrac12 k A^2 \cos^2 (\omega t + \varphi_0),$$

dengan $\omega = \sqrt{k/m}$. Energi potensial pegas adalah

$$\tag{21} U = \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2 \sin^2 (\omega t + \varphi_0),$$

sehingga, dengan hubungan $E = K + U$, dapat diperoleh energi total

$$\tag{22} E = \tfrac12 k A^2,$$

yang merupakan energi mekanik sistem.

velocity as function of position Link to heading

Dengan energi mekanik sistem GHS

$$\tag{23} E = K + U$$

dan $E = \tfrac12 kA^2$, $K = \tfrac12 m v^2$, $U = \tfrac12 k x^2$ dapat dituliskan

$$\tag{24} K = E - U = \tfrac12 k A^2 - \tfrac12 k x^2$$

dan lebih lanjut dapat diperoleh

$$\tag{25} v = \omega \sqrt{A^2 - x^2},$$

yang memberikan $v = v(x)$, di mana $\omega = \sqrt{k/m}$. Perhatikan bahwa Persamaan (25) ini berlaku untuk GHS berupa sistem pegas-benda, sedangkan untuk sistem bandul matematis akan diperoleh rumusan yang sedikit berbeda.

questions Link to heading

1. Tunjukkan bahwa Persamaan (2) merupakan solusi dari Persamaan (1) dengan melakukan substitusi Persamaan (2) ke Persamaan (1).
2. Apakah nilai $\varphi_0$ pada Persamaan (2) mempengaruhi bentuk persamaan gerak benda pada Persamaan (1)?
3. Dengan menggunakan hubungan antara besaran-besaran kinematika, tunjukkan bagaimana Persamaan (3) diperoleh dari Persamaan (2).
4. Bagaimanakah bentuk Persamaan (19)-(22) untuk sistem bandul matematis dengan simpangan kecil?
5. Dengan menggunakan Persamaan (25) rumuskan posisi sebagai fungsi dari kecepatan $x = x(v)$, lalu berikan contoh pemanfaatannya.
6. Untuk sistem bandul matematis perolehkan rumusan untuk $\theta = \theta(\omega)$ dan $\omega = \omega(\theta)$, yang mirip dengan Persamaan (25).