Suatu benda yang bergerak dalam satu-dimensi dengan gerak harmonis sederhana (GHS), atau simple harmonic motion (SHM), memiliki solusi yang telah umum dikenal. Penerapan syarat awal yang berbeda akan memberikan penjelasan mengenai koefisien-koefisien pada solusi umum tersebut.
equation of motion and solutions
Link to heading Sebuah benda dengan persamaan gerak
d 2 x d t 2 + ω 2 x = 0 (1) \tag{1}
\frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x = 0
d t 2 d 2 x + ω 2 x = 0 ( 1 )
akan memiliki solusi untuk posisinya x x x dalam bentuk
x = A sin ( ω t + φ 0 ) , (2) \tag{2}
x = A \sin (\omega t + \varphi_0),
x = A sin ( ω t + φ 0 ) , ( 2 )
dengan simpangan x x x , amplitudo simpangan A A A , frekuensi angular ω \omega ω , dan fasa awal φ 0 \varphi_0 φ 0 . Selanjutnya, solusi untuk kecepatan v v v benda saat t t t adalah
v = ω A cos ( ω t + φ 0 ) , (3) \tag{3}
v = \omega A \cos (\omega t + \varphi_0),
v = ω A cos ( ω t + φ 0 ) , ( 3 )
dengan v max = ω A v_{\max} = \omega A v m a x = ω A adalah amplitudo kecepatan atau laju maksimum benda. Dengan cara yang sama dapat ditulskan bahwa x max = A x_{\max} = A x m a x = A adalah simpangan maksimum.
Solusi persamaan gerak sistem GHS pada Persamaan (1) memerlukan dua syarat awal saat t = t 0 t = t_0 t = t 0 , yaitu x ( t 0 ) = x 0 x(t_0) = x_0 x ( t 0 ) = x 0 dan v ( t 0 ) = v 0 v(t_0) = v_0 v ( t 0 ) = v 0 , yang untuk memudahkan dipilih t 0 = 0 t_0 = 0 t 0 = 0 .
x 0 ≠ 0 x_0 \ne 0 x 0 = 0 , v 0 = 0 v_0 = 0 v 0 = 0
Link to heading Benda, massa yang terikat pegas atau bandul yang terikat tali, diberi simpangan awal x 0 x_0 x 0 dan dilepas tanpa kecepatan awal atau v 0 = 0 v_0 = 0 v 0 = 0 saat t = 0 t = 0 t = 0 , maka dari Persamaan (1) dapat diperoleh
x = A sin ( ω t + φ 0 ) x ( 0 ) = A sin ( ω ⋅ 0 + φ 0 ) x 0 = A sin φ 0 (4) \tag{4}
\begin{array}{rcl}
x & = & A \sin (\omega t + \varphi_0) \newline
x(0) & = & A \sin (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline
x_0 & = & A \sin \varphi_0
\end{array}
x x ( 0 ) x 0 = = = A sin ( ω t + φ 0 ) A sin ( ω ⋅ 0 + φ 0 ) A sin φ 0 ( 4 )
dan dari turunan Persamaan (1) terhadap waktu t t t diperoleh
v = ω A cos ( ω t + φ 0 ) v ( 0 ) = ω A cos ( ω ⋅ 0 + φ 0 ) v 0 = ω A cos φ 0 . (5) \tag{5}
\begin{array}{rcl}
v & = & \omega A \cos (\omega t + \varphi_0) \newline
v(0) & = & \omega A \cos (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline
v_0 & = & \omega A \cos \varphi_0.
\end{array}
v v ( 0 ) v 0 = = = ω A cos ( ω t + φ 0 ) ω A cos ( ω ⋅ 0 + φ 0 ) ω A cos φ 0 . ( 5 )
Dikarenakan v 0 = 0 v_0 = 0 v 0 = 0 maka dari Persamaan (5) diperoleh φ 0 = ( n + 1 2 ) π \varphi_0 = (n + \tfrac12) \pi φ 0 = ( n + 2 1 ) π dengan n = 0 , 1 , 2 , . . n = 0, 1, 2, .. n = 0 , 1 , 2 , .. . Bila dipih n = 0 n = 0 n = 0 , diperoleh φ 0 = 1 2 π \varphi_0 = \tfrac12 \pi φ 0 = 2 1 π , sehingga Persamaan (4) akan menjadi
x 0 = A sin 1 2 π = A , (6) \tag{6}
\begin{array}{rcl}
x_0 & = & A \sin \tfrac12 \pi \newline
& = & A,
\end{array}
x 0 = = A sin 2 1 π A , ( 6 )
yang memberikan nilai amplitudo A A A . Dengan hasil dari Persamaan (6), Persamaan (1) dapat dituliskan kembali menjadi
x = x 0 sin ( ω t + 1 2 π ) , (7) \tag{7}
x = x_0 \sin (\omega t + \tfrac12 \pi),
x = x 0 sin ( ω t + 2 1 π ) , ( 7 )
yang merupakan solusi khusus dari sistem GHS dengan syarat awal x ( 0 ) = x 0 x(0) = x_0 x ( 0 ) = x 0 dan v ( 0 ) = 0 v(0) = 0 v ( 0 ) = 0 .
x 0 = 0 x_0 = 0 x 0 = 0 , v 0 ≠ 0 v_0 \ne 0 v 0 = 0
Link to heading Benda, massa yang terikat pegas atau bandul yang terikat tali, pada posisi kesetimbangannya atau x 0 = 0 x_0 = 0 x 0 = 0 diberi kecepatan awal v 0 v_0 v 0 saat t = 0 t = 0 t = 0 , maka dari Persamaan (1) dapat diperoleh
x = A sin ( ω t + φ 0 ) x ( 0 ) = A sin ( ω ⋅ 0 + φ 0 ) 0 = A sin φ 0 (8) \tag{8}
\begin{array}{rcl}
x & = & A \sin (\omega t + \varphi_0) \newline
x(0) & = & A \sin (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline
0 & = & A \sin \varphi_0
\end{array}
x x ( 0 ) 0 = = = A sin ( ω t + φ 0 ) A sin ( ω ⋅ 0 + φ 0 ) A sin φ 0 ( 8 )
dan dari turunan Persamaan (1) terhadap waktu t t t diperoleh
v = ω A cos ( ω t + φ 0 ) v ( 0 ) = ω A cos ( ω ⋅ 0 + φ 0 ) v 0 = ω A cos φ 0 . (9) \tag{9}
\begin{array}{rcl}
v & = & \omega A \cos (\omega t + \varphi_0) \newline
v(0) & = & \omega A \cos (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline
v_0 & = & \omega A \cos \varphi_0.
\end{array}
v v ( 0 ) v 0 = = = ω A cos ( ω t + φ 0 ) ω A cos ( ω ⋅ 0 + φ 0 ) ω A cos φ 0 . ( 9 )
Selanjutnya, dikarenakan x 0 = 0 x_0 = 0 x 0 = 0 maka dari Persamaan (8) diperoleh φ 0 = n π \varphi_0 = n \pi φ 0 = nπ dengan n = 0 , 1 , 2 , . . n = 0, 1, 2, .. n = 0 , 1 , 2 , .. . Bila dipih n = 0 n = 0 n = 0 , diperoleh φ 0 = 0 \varphi_0 = 0 φ 0 = 0 , sehingga Persamaan (9) akan menjadi
v 0 = ω A cos 0 = ω A , (10) \tag{10}
\begin{array}{rcl}
v_0 & = & \omega A \cos 0 \newline
& = & \omega A,
\end{array}
v 0 = = ω A cos 0 ω A , ( 10 )
yang memberikan nilai amplitudo A = v 0 / ω A = v_0 / \omega A = v 0 / ω . Dengan hasil dari Persamaan (10), Persamaan (1) dapat dituliskan kembali menjadi
x = v 0 ω sin ω t , (11) \tag{11}
x = \frac{v_0}{\omega} \sin \omega t,
x = ω v 0 sin ω t , ( 11 )
yang merupakan solusi khusus dari sistem GHS dengan syarat awal x ( 0 ) = 0 x(0) = 0 x ( 0 ) = 0 dan v ( 0 ) = v 0 v(0) = v_0 v ( 0 ) = v 0 .
x 0 ≠ 0 x_0 \ne 0 x 0 = 0 , v 0 ≠ 0 v_0 \ne 0 v 0 = 0
Link to heading Benda, massa yang terikat pegas atau bandul yang terikat tali, pada posisi tertentu x 0 = 0 x_0 = 0 x 0 = 0 diberi kecepatan awal v 0 v_0 v 0 saat t = 0 0 0 , maka dari Persamaan (1) dapat diperoleh
x = A sin ( ω t + φ 0 ) x ( 0 ) = A sin ( ω ⋅ 0 + φ 0 ) x 0 = A sin φ 0 (12) \tag{12}
\begin{array}{rcl}
x & = & A \sin (\omega t + \varphi_0) \newline
x(0) & = & A \sin (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline
x_0 & = & A \sin \varphi_0
\end{array}
x x ( 0 ) x 0 = = = A sin ( ω t + φ 0 ) A sin ( ω ⋅ 0 + φ 0 ) A sin φ 0 ( 12 )
dan dari turunan Persamaan (1) terhadap waktu t t t diperoleh
v = ω A cos ( ω t + φ 0 ) v ( 0 ) = ω A cos ( ω ⋅ 0 + φ 0 ) v 0 = ω A cos φ 0 . (13) \tag{13}
\begin{array}{rcl}
v & = & \omega A \cos (\omega t + \varphi_0) \newline
v(0) & = & \omega A \cos (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline
v_0 & = & \omega A \cos \varphi_0.
\end{array}
v v ( 0 ) v 0 = = = ω A cos ( ω t + φ 0 ) ω A cos ( ω ⋅ 0 + φ 0 ) ω A cos φ 0 . ( 13 )
Terdapat dua persamaan, yaitu Persamaan (12) dan (13) dan dua parameter yang tidak diketahui, yaitu A A A dan φ 0 \varphi_0 φ 0 , yang seharusnya dapat diperoleh.
Persamaan (12) dibagi Persamaan (13) akan memberikan
tan φ 0 = x 0 v 0 / ω = ω x 0 v 0 , (14) \tag{14}
\tan \varphi_0 = \frac{x_0}{v_0/\omega} = \frac{\omega x_0}{v_0},
tan φ 0 = v 0 / ω x 0 = v 0 ω x 0 , ( 14 )
sin φ 0 = ω x 0 ω 2 x 0 2 + v 0 2 , (15) \tag{15}
\sin \varphi_0 = \frac{\omega x_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}},
sin φ 0 = ω 2 x 0 2 + v 0 2 ω x 0 , ( 15 )
cos φ 0 = v 0 ω 2 x 0 2 + v 0 2 . (16) \tag{16}
\cos \varphi_0 = \frac{v_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}}.
cos φ 0 = ω 2 x 0 2 + v 0 2 v 0 . ( 16 )
Substitusi Persamaan (15) ke Persamaan (12) atau Persamaan (16) ke Persamaan (13) akan memberikan
x 0 = A ω x 0 ω 2 x 0 2 + v 0 2 A = ω 2 x 0 2 + v 0 2 ω = x 0 2 + ( v 0 / ω ) 2 . (17) \tag{17}
\begin{array}{rcl}
x_0 & = & \displaystyle A \ \frac{\omega x_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}} \newline
&&\newline
A & = & \displaystyle \frac{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}}{\omega} \newline
& = & \sqrt{x_0^2 + (v_0 / \omega)^2}.
\end{array}
x 0 A = = = A ω 2 x 0 2 + v 0 2 ω x 0 ω ω 2 x 0 2 + v 0 2 x 0 2 + ( v 0 / ω ) 2 . ( 17 )
Substitusi Persamaan (15) dan (17) ke Persamaan (1) akan memberikan
x = [ x 0 2 + ( v 0 ω ) 2 ] 1 2 sin [ ω t + arcsin ( ω x 0 ω 2 x 0 2 + v 0 2 ) ] (18) \tag{18}
x = \left[ x_0^2 + \left( \frac{v_0}{\omega} \right)^2 \right]^{\frac12} \ \sin \left[ \omega t + \arcsin \left( \frac{\omega x_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}} \right) \right]
x = [ x 0 2 + ( ω v 0 ) 2 ] 2 1 sin [ ω t + arcsin ( ω 2 x 0 2 + v 0 2 ω x 0 ) ] ( 18 )
yang merupakan solusi khusus dari sistem GHS dengan syarat awal x ( 0 ) = x 0 x(0) = x_0 x ( 0 ) = x 0 dan v ( 0 ) = v 0 v(0) = v_0 v ( 0 ) = v 0 .
Energi kinetik sistem yang bergerak mengikuti gerak harmonik sederhana (GHS) diberikan oleh
K = 1 2 m ω 2 A 2 cos 2 ( ω t + φ 0 ) , (19) \tag{19}
K = \tfrac12 m \omega^2 A^2 \cos^2 (\omega t + \varphi_0),
K = 2 1 m ω 2 A 2 cos 2 ( ω t + φ 0 ) , ( 19 )
yang untuk sistem pegas-benda (pegas berkonstanta k k k dan benda bermassa m m m ) akan menjadi
K = 1 2 k A 2 cos 2 ( ω t + φ 0 ) , (20) \tag{20}
K = \tfrac12 k A^2 \cos^2 (\omega t + \varphi_0),
K = 2 1 k A 2 cos 2 ( ω t + φ 0 ) , ( 20 )
dengan ω = k / m \omega = \sqrt{k/m} ω = k / m . Energi potensial pegas adalah
U = 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 sin 2 ( ω t + φ 0 ) , (21) \tag{21}
U = \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2 \sin^2 (\omega t + \varphi_0),
U = 2 1 k x 2 = 2 1 k A 2 sin 2 ( ω t + φ 0 ) , ( 21 )
sehingga, dengan hubungan E = K + U E = K + U E = K + U , dapat diperoleh energi total
E = 1 2 k A 2 , (22) \tag{22}
E = \tfrac12 k A^2,
E = 2 1 k A 2 , ( 22 )
yang merupakan energi mekanik sistem.
velocity as function of position
Link to heading Dengan energi mekanik sistem GHS
E = K + U (23) \tag{23}
E = K + U
E = K + U ( 23 )
dan E = 1 2 k A 2 E = \tfrac12 kA^2 E = 2 1 k A 2 , K = 1 2 m v 2 K = \tfrac12 m v^2 K = 2 1 m v 2 , U = 1 2 k x 2 U = \tfrac12 k x^2 U = 2 1 k x 2 dapat dituliskan
K = E − U = 1 2 k A 2 − 1 2 k x 2 (24) \tag{24}
K = E - U = \tfrac12 k A^2 - \tfrac12 k x^2
K = E − U = 2 1 k A 2 − 2 1 k x 2 ( 24 )
dan lebih lanjut dapat diperoleh
v = ω A 2 − x 2 , (25) \tag{25}
v = \omega \sqrt{A^2 - x^2},
v = ω A 2 − x 2 , ( 25 )
yang memberikan v = v ( x ) v = v(x) v = v ( x ) , di mana ω = k / m \omega = \sqrt{k/m} ω = k / m . Perhatikan bahwa Persamaan (25) ini berlaku untuk GHS berupa sistem pegas-benda, sedangkan untuk sistem bandul matematis akan diperoleh rumusan yang sedikit berbeda.
Tunjukkan bahwa Persamaan (2) merupakan solusi dari Persamaan (1) dengan melakukan substitusi Persamaan (2) ke Persamaan (1). Apakah nilai φ 0 \varphi_0 φ 0 pada Persamaan (2) mempengaruhi bentuk persamaan gerak benda pada Persamaan (1)? Dengan menggunakan hubungan antara besaran-besaran kinematika, tunjukkan bagaimana Persamaan (3) diperoleh dari Persamaan (2). Bagaimanakah bentuk Persamaan (19)-(22) untuk sistem bandul matematis dengan simpangan kecil? Dengan menggunakan Persamaan (25) rumuskan posisi sebagai fungsi dari kecepatan x = x ( v ) x = x(v) x = x ( v ) , lalu berikan contoh pemanfaatannya. Untuk sistem bandul matematis perolehkan rumusan untuk θ = θ ( ω ) \theta = \theta(\omega) θ = θ ( ω ) dan ω = ω ( θ ) \omega = \omega(\theta) ω = ω ( θ ) , yang mirip dengan Persamaan (25).