butiran

alternating current

Arus yang mengalir hanya pada satu arah disebut sebagai arus searah atau direct current (DC), sedangkan arus yang arahnya sering berbalik disebut sebagai arus bolak-balik atau alternating current (AC) [ 1 ].

voltage

Tegangan listrik pada arus bolak-balik memiliki fungsi matematika

\begin{equation}\label{eqn:ac-voltage} V(t) = V_m \sin (\omega t + \varphi), \end{equation}

dengan $V(t)$ tegangan sebagai fungsi waktu $t$, $V_m$ tegangan maksimum, $\omega$ frekuensi angular, dan $\phi$ adalah beda fasa terhadap sumber lain. Frekuensi sudut adalah

\begin{equation}\label{eqn:ac-voltage-omega} \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}, \end{equation}

dengan $f$ adalah frekuensi dan $T$ adalah periode.

average value

Mengingat tegangan pada arus bolak-balik selalu berubah mengikuti Persamaan \eqref{eqn:ac-voltage}, maka bila dihitung dalam satu periode

\begin{equation}\label{eqn:ac-voltage-average} V_{\rm avg} = \frac{1}{T} \int_t^{t+T} V_m \sin (\omega t + \varphi) \ dt \end{equation}

akan bernilai nol, sehingga konsep tegangan rata-rata tidak dapat digunakan. Untuk menghitung Persamaan \eqref{eqn:ac-voltage-average} diperlukan

$$ \begin{array}{rcl} \sin \omega(t + T) & = & \displaystyle \sin \left[ \frac{2\pi}{T} (t + T) \right] \newline & = & \displaystyle \sin \left( \frac{2\pi}{T} t + 2\pi \right) \newline & = & \displaystyle \sin \left( \frac{2\pi}{T} t \right) \newline & = & \displaystyle \sin \omega t \end{array} $$

dan

$$ \begin{array}{rcl} \cos \omega(t + T) & = & \displaystyle \cos \left[ \frac{2\pi}{T} (t + T) \right] \newline & = & \displaystyle \cos \left( \frac{2\pi}{T} t + 2\pi \right) \newline & = & \displaystyle \cos \left( \frac{2\pi}{T} t \right) \newline & = & \displaystyle \cos \omega t \end{array} $$

yang merupakan sifat periodik fungsi sin dan cos.

rms value

Nilai tegangan pada Persamaan \eqref{eqn:ac-voltage} tidak nyaman atau sulit diukur dan dibutuhkan satu nilai yang mewakilinya. Untuk itu digunakan konsep akar rata-rata kuadrat atau root mean square (rms) yang diperoleh dari

\begin{equation}\label{eqn:ac-voltage-rms} V_{\rm rms} = \sqrt{ \frac{1}{T} \int_t^{t+T} [ V_m \sin (\omega t + \varphi) ]^2 \ dt }. \end{equation}

Untuk menghitung Persamaan \eqref{eqn:ac-voltage-rms} perlu terlebih dahulu menghitung

$$ \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \sin^2 ax \ dx & = & \displaystyle \int \left( \tfrac12 - \tfrac12 \cos 2ax \right) \ dx \newline & = & \displaystyle \frac12 x - \frac{1}{4a} \sin 2ax + c, \end{array} $$

yang akan memberikan bahwa

\begin{equation}\label{eqn:ac-voltage-rms-int-v} \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{1}{T} \int_t^{t+T} [ V_m \sin (\omega t + \varphi) ]^2 \ dt & = & \displaystyle \frac{V_m^2}{T} \left[ \frac12 t - \tfrac{1}{4\omega} \sin (2\omega t + \varphi) \right]_{t}^{t + T} \newline & = & \displaystyle \frac{V_m^2}{T} \left\{ \frac12( [t + T] - t) \right. \newline & & \displaystyle \left. - \frac{1}{4\omega} \left[ \sin (\omega [t + T] + \varphi) - \sin (\omega t + \varphi) \right] \right\} \newline & = & \displaystyle \frac{V_m^2}{T} \frac12 T \newline & = & \displaystyle \frac{V_m^2}{2}. \end{array} \end{equation}

Substitusi Persamaan \eqref{eqn:ac-voltage-rms-int-v} ke Persamaan \eqref{eqn:ac-voltage-rms} akan memberikan

\begin{equation}\label{eqn:ac-voltage-rms-vm} V_{\rm rms} = \sqrt{ \frac{V_m^2}{2} } = \frac{V_m}{\sqrt{2}}. \end{equation}

Persamaan \eqref{eqn:ac-voltage-rms-vm} ini menggabarkan hubungan antara nilai $V_m$ pada Persamaan \eqref{eqn:ac-voltage} dengan nilai rms-nya yang dihitung melalui Persamaan \eqref{eqn:ac-voltage-rms}.

current

Hukum Ohm berlaku juga pada arus bolak-balik

\begin{equation}\label{eqn:ac-ohm-law} V(t) = Z I(t) \end{equation}

dengan hambatan $R$ diperluas menjadi impedansi $Z$ yang dapat mengandung resistor $R$, induktor $L$, dan kapasitor $L$. Melalui Persamaan \eqref{eqn:ac-ohm-law} dan \eqref{eqn:ac-voltage} dapat diperoleh

\begin{equation}\label{eqn:ac-current} \begin{array}{rcl} I(t) & = & \displaystyle \frac{V(t)}{Z} \newline & = & \displaystyle \frac{V_m \sin (\omega t + \varphi)}{Z} \newline & = & I_m \sin (\omega t + \varphi) \end{array} \end{equation}

yang memerlukan

\begin{equation}\label{eqn:ac-ohm-law-max} V_m = Z I_m. \end{equation}

Persamaan \eqref{eqn:ac-ohm-law-max} ini tak lain adalah amplitudo dari masing-masing fungsi pada kedua ruas Persamaan \eqref{eqn:ac-ohm-law}. Dan dengan segera diperoleh bahwa untuk arus

\begin{equation}\label{eqn:ac-current-rms-vm} I_{\rm rms} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \end{equation}

juga berlaku.

power

Setelah memiliki tegangan dan arus, keduanya fungsi waktu, nilai rms, dan juga maksimumnya, berikutnya adalah daya karena besaran ini merupakan hasil kali tegangan dan arus. Dengan mengalikan Persamaan \eqref{eqn:ac-voltage} dan \eqref{eqn:ac-current} akan diperoleh

\begin{equation}\label{eqn:ac-power} \begin{array}{rcl} P(t) & = & V(t) I(t) \newline & = & [V_m \sin (\omega t + \varphi)] [I_m \sin (\omega t + \varphi)] \newline & = & V_m I_m \sin^2 (\omega t + \varphi). \end{array} \end{equation}

Untuk daya kita tidak perlu mencari rms-nya karena dapat dirata-ratakan mengingat funsinya telah berupa $\sin^2 (\omega t + \varphi)$ sehingga rata-ratanya tidak nol. Dengan demikian

\begin{equation}\label{eqn:ac-power-average} \begin{array}{rcl} P_{\rm avg} & = & \displaystyle \frac{1}{T} \int_t^{t+T} P(t) \ dt \newline & = & \displaystyle \frac{1}{T} \int_t^{t+T} V_m I_m \sin^2 (\omega t + \varphi) \ dt \newline & = & \displaystyle \frac{V_m I_m}{2} \newline & = & \displaystyle \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} \newline & = & \displaystyle V_{\rm rms} I_{\rm rms}. \end{array} \end{equation}

not a perfect sine

Perumusan nilai rms mengasumsikan bahwa bentuk gelombang sinus halus sehingga terdapat kaitan antara nilai maksimum, baik arus maupun tegangan, dengan nilai rms-nya. Bila terdapat gangguang, maka perlu dilakukan sampling selain mendeteksi puncaknya dengan suatu vormula sementara yang lebih dapat diandalkan ketimbang hanya mendeteksi nilai maksimumnya [ 2 ].

standard time function

Bentuk fungsi waktu dari tegangan dan arus akan mengikut Persamaan \eqref{eqn:ac-voltage} dan \eqref{eqn:ac-current} yang berlaku pada resistor, induktor, kapasitor, dan gabungan ketiganya pada susunan seri, paralel, dan kombinasi seri dengan paralel.

exer

  1. Sebutkan satun dari $V(t)$, $V_m$, $\omega$, $\varphi$ pada Persamaan \eqref{eqn:ac-voltage} dan $f$, $T$ pada Persamaan \eqref{eqn:ac-voltage-omega}.
  2. Mengapa pada arus bolak-balik tidak digunakan konsep tegangan rata-rata?
  3. Mengapa dapat dihitung daya rata-rata?
  4. Apakah nilai yang diukur oleh alat ukur?

note

  1. Glenn Elert, “Alternating Current”, The Physics Hypertextbook, url https://physics.info/current-alternating/ [20220315].
  2. Promax, “What do RMS and True RMS stand for? Here we explain you the differences”, Promax, 27 Feb 2019, url https://www.promaxelectronics.com/ing/news/561/what-do-rms-and-true-rms-stand-for-here-we-explain-you-the-differences/ [20220316].

comments

{% comment %} data-width=“390” {% endcomment %}

 

{% comment %} • {% endcomment %}

{% comment %} {% endcomment %}