biot-savart law circular wire
Medan magnetik oleh kawat berbentuk busur lingkaran berarus dapat diperoleh dengan menggunakan hukum Biot-Savart [ 1 ], sedangkan untuk sistem ideal solenodia dan toroida dapat menggunakan hukum Ampere [ 2 ].
the law
Elemen arus listrik yang mengalir pada sebuah kawat $Id\vec{l}$ akan memberikan elemen medan magnetik $d\vec{B}$ pada posisi $\vec{r}$ dari kawat yang diberikan oleh hukum Biot-Savart
\begin{equation}\label{eqn:biot-savart-law} d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Id\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}, \end{equation}
seperti digambarkan berikut ini.
Gambar 1. Elemen medan magnetik $d\vec{B}$ yang disebabkan oleh elemen arus $Id\vec{l}$ pada titik amat yang terletap pada posisi relatif $\vec{r}$ terhadap kawat berarus.
Kawat berarus dapat berbentuk sembarang kurva. Bentuk yang umum adalah garis lurus dan busur lingkaran.
application
Di sini akan diterapkan hukum Biot-Savart untuk kawat berbentuk busur lingkaran yang merupakan bentuk yang lebih umum dari bentuk lingkaran.
arc wire
Agar hukum Biot-Savart dapat diterapkan dengan mudah Gambar 1 perlu diperjelas dengan elemen integral untuk $dl = Rd\theta$ seperti pada gambar berikut ini.
Gambar 2. Elemen medan magnetik $d\vec{B}$ pada posisi relatif $\vec{r}$ dari kawat dengan elemen arus $Id\vec{l}$ dengan elemen panjang kawat adalah $Rd\theta$.
Dari Gambar 2 dapat diperoleh elemen medan magnetik $d\vec{B}$ ($\color{#0b5}{\blacksquare}$) pada titik di sepanjang sumbu $z$ yang disebabkan oleh elemen arus pada kawat $Id\vec{l}$ ($\color{#f94}{\blacksquare}$). Selain itu keseluruhan elemen medan magnetik ($\color{#0b5}{\blacksquare}$ dan $\color{#cda}{\blacksquare}$) akibat elemen arus ($\color{#f94}{\blacksquare}$) juga digambarkan untuk kembali mengingatkan mengenai aplikasi dari aturan tangan kanan. Untuk titik pengamatan di sepanjang sumbu $z$ hanya $d\vec{B}$ yang berwarna hijau lebih gelap ($\color{#0b5}{\blacksquare}$) yang berperan.
Pada koordinat silinder dapat diperoleh
\begin{equation}\label{eqn:cylindrical-coordinate-dl} d\vec{l} = Rd\theta \ \hat{\theta} \end{equation}
seperti diberikan pada Gambar 2 . Dan dari gambar tersebut didapatkan pula
\begin{equation}\label{eqn:relative-position} \vec{r} = z\hat{z} - R\hat{r}, \end{equation}
sehingga
\begin{equation}\label{eqn:relative-position-mag} r = \sqrt{z^2 + R^2}. \end{equation}
Dari Gambar 2 dapat dituliskan
\begin{equation}\label{eqn:tan-beta} z = R \tan \beta. \end{equation}
Vektor satuan pada Persaman \eqref{eqn:cylindrical-coordinate-dl} dapat dinyatakan dengan vektor satuan pada koordinat kartesian
\begin{equation}\label{eqn:theta-hat} \hat{\theta} = -\hat{x} \sin \theta + \hat{y} \cos \theta, \end{equation}
dengan $\theta$ bermula dari sumbu $x$ menuju sumbu $y$ dan untuk Persamaan \eqref{eqn:relative-position}
\begin{equation}\label{eqn:r-hat} \hat{r} = \hat{x} \cos \theta + \hat{y} \sin \theta. \end{equation}
Substitusi Persamaan \eqref{eqn:cylindrical-coordinate-dl}, \eqref{eqn:relative-position}, dan \eqref{eqn:relative-position-mag}, serta \eqref{eqn:theta-hat} dan \eqref{eqn:r-hat} ke Persamaan \eqref{eqn:biot-savart-law} akan memberikan
\begin{equation}\label{eqn:biot-savart-law-arc-wire} \begin{array}{rcl} d\vec{B} & = & \displaystyle \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{IR d\theta (-\hat{x} \sin \theta + \hat{y} \cos \theta)}{(z^2 + R^2)^{3/2}} \newline && \times (z\hat{z} - R\cos\theta\hat{x} - R\sin\theta\hat{y}) \end{array} \end{equation}
Suku-suku yang terlibat dalam perkalian silang pada Persamaan \eqref{eqn:biot-savart-law-arc-wire} akan memberikan
$$ z \sin \theta \hat{y} + R \sin^2 \theta \hat{z} + z \cos \theta \hat{x} + R \cos^2 \theta \hat{z} $$
yang akan menjadi
$$ z \cos \theta \hat{x} + z \sin \theta \hat{y} + R \hat{z}, $$
sehingga bila disubstitukan kembali ke Persamaan \eqref{eqn:biot-savart-law-arc-wire} akan menghasilkan
\begin{equation}\label{eqn:biot-savart-law-arc-wire-2} \begin{array}{rcl} d\vec{B} & = & \displaystyle \hat{x} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{IR z \cos \theta d\theta}{(z^2 + R^2)^{3/2}} \newline && \displaystyle + \hat{y} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{IR z \sin \theta d\theta}{(z^2 + R^2)^{3/2}} \newline && \displaystyle + \hat{z} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{IR^2 d\theta}{(z^2 + R^2)^{3/2}} \newline \vec{B} & = & \displaystyle \int d\vec{B} \newline & = & \hat{x} B_x + \hat{y} B_y + \hat{z} B_z. \end{array} \end{equation}
Masing-masing komponen dari Persamaan \eqref{eqn:biot-savart-law-arc-wire-2} adalah
\begin{equation}\label{eqn:biot-savart-law-arc-wire-bx} B_x = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{IR z}{(z^2 + R^2)^{3/2}} (\sin \theta_2 - \sin \theta_1), \end{equation}
\begin{equation}\label{eqn:biot-savart-law-arc-wire-by} B_y = -\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{IR z}{(z^2 + R^2)^{3/2}} (\cos \theta_2 - \cos \theta_1), \end{equation}
\begin{equation}\label{eqn:biot-savart-law-arc-wire-bz} B_z = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{IR^2}{(z^2 + R^2)^{3/2}} (\theta_2 - \theta 1), \end{equation}
dengan $\theta_1$ dan $\theta_2$ adalah batas bawah dan atas integral yang diukur dari sumbu $x+$ berputar ke arah sumbu $y+$.
cases
Terdapat beberapa kasus yang dapat disinggung terkait dengan pemanfaatan Persamaan \eqref{eqn:biot-savart-law-arc-wire-bx}, \eqref{eqn:biot-savart-law-arc-wire-by}, dan \eqref{eqn:biot-savart-law-arc-wire-bz} seperti diberikan pada tabel di bawah ini.
Tabel 1. Beberapa sistem kawat berbentuk busur lingkaran berarus dan medan magnetik yang disebabkannya.
| No | Kasus | Keterangan |
|---|---|---|
| 1 |  | $\theta_1 = 0$, $\theta_2 = \pi$, $z > 0$, $B_x = 0$, $B_y > 0$, $B_z > 0$ |
| 2 |  | $\theta_1 = \pi$, $\theta_2 = 2\pi$, $z > 0$, $B_x = 0$, $B_y < 0$, $B_z > 0$ |
| 3 |  | $\theta_1 = \frac12 \pi$, $\theta_2 = \frac32 \pi$, $z > 0$, $B_x < 0$, $B_y = 0$, $B_z > 0$ |
| 4 |  | $\theta_1 = \frac32 \pi$, $\theta_2 = \frac12 \pi$, $z > 0$, $B_x > 0$, $B_y = 0$, $B_z > 0$ |
| 5 |  | $\theta_1 = 0$, $\theta_2 = 2\pi$, $z > 0$, $B_x = 0$, $B_y = 0$, $B_z > 0$ |
| 6 |  | $\theta_1 \in [0, 2\pi]$, $\theta_2 > \theta_1$, $z = 0$, $B_x = 0$, $B_y = 0$, $B_z > 0$ |
Sebagai ilustrasi pemanfaatan Tabel 1 , misalnya digunakan kasus nomor 5 akan tetapi dengan $z = 0$, yang akan membuat Persamaan \eqref{eqn:biot-savart-law-arc-wire-bx}, \eqref{eqn:biot-savart-law-arc-wire-by}, dan \eqref{eqn:biot-savart-law-arc-wire-bz} menjadi
\begin{equation}\label{eqn:biot-savart-law-arc-wire-bx-case-5-z=0} B_x = 0, \end{equation}
\begin{equation}\label{eqn:biot-savart-law-arc-wire-by-case-5-z=0} B_y = 0, \end{equation}
\begin{equation}\label{eqn:biot-savart-law-arc-wire-bz-case-5-z=0} B_z = \frac{\mu_0 I}{2R}, \end{equation}
sehingga
\begin{equation}\label{eqn:biot-savart-law-circular-loop-center-point} \vec{B} = \hat{z} \frac{\mu_0 I}{2R} \end{equation}
adalah medan listrik totalnya yang hanya terdiri dari komponen pada arah $z$.
exer
- Untuk kasus nomor 5 pada Tabel 1 , bagaimana arah medan magnetik di sepanjang sumbu $z$, di atas dan di bawah simpul melingkar?
- Mengapa untuk kasus nomor 6 pada Tabel 1 tidak terdapat komponen medan magnetik pada arah $x$ dan $y$?
note
- Andrew Duffy, Ali Loewy, “Magnetic Field from an Arc of Current”, Physlets, Boston University, 2nd Semester, 20 Sep 2019, url http://physics.bu.edu/~duffy/semester2/c14_arc.html [20220227].
- Fred Harris, “Ampere’s Law”, Physics 272: Physics II, Section 1, University of Hawaii, 30 Oct 2014, url https://www.phys.hawaii.edu/~fah/272www/272lectures_2014/lecture%2025(24)b.pdf [20220227].
comments
{% comment %} • {% endcomment %}
{% comment %} {% endcomment %}