line charge electric field

Untuk mendapatkan medan listrik akibat muatan garis diperlukan rapat muatan linier yang disimbolkan dengan $\lambda$ [ 1 ] dan kadang juga dengan $\mu$ [ 2 ]. Medan listrik di sekitar kawat lurus dapat dihitung pada posisi tengah-tengah panjang kawat sehingga dapat memanfaatkan simetri untuk memudahkan perhitungan [ 3 ] atau menghitungnya pada sembarang posisi di sekitar kawat lurus sehingga memberikan hasil yang lebih umum [ 4 ]. Salah satu kasus yang menarik adalah bila panjang kawat dapat dianggap tak-hingga atau jauh lebih besar dari jarak titik yang ingin diobservasi terhadap kawat [ 5 ]. Terdapat pula kasus di mana medan listrik dihitung pada jarak tertentu dari salah satu ujung kawat lurus, yang kadang dapat cukup membingungkan [ 6 ].

electric field

Medan listrik yang disebabkan oleh distribusi muatan yang terdapat pada posisi $\vec{r}_q$ akan menyebabkan elemen medan listrik $d\vec{E}$ pada posisi $\vec{r}$ dalam bentuk

\begin{equation}\label{eqn:efield-charge-distribution} d\vec{E}_q = k \ \frac{dq}{| \vec{r} - \vec{r}_q |^3} \ (\vec{r} - \vec{r}_q), \end{equation}

dengan

\begin{equation}\label{eqn:coulomb-constant} \begin{array}{rcl} k & = & \displaystyle \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \newline & = & 8.9875517923(14)\times 10^9 \newline && {\rm kg \cdot m^3 \cdot s^{-2} \cdot C^{-2}} \end{array} \end{equation}

adalah konstanta Coulomb, yang untuk praktisnya diingat dengan nilai $9\times10^9$ sebagaimana diajarkan di universitas [ 7 ]. Untuk muatan garis elemen muatan $dq$ pada Persamaan \eqref{eqn:efield-charge-distribution} digantikan oleh

\begin{equation}\label{eqn:charge-element} dq = \lambda dl \end{equation}

dengan $\lambda$ adalah rapat muatan linier dan $dl$ adalah elemen panjang yang dapat berupa $dx$, $dy$, atau $dz$ dalam koordinat kartesian. Secara umum $\lambda = \lambda(l)$, sedangkan untuk kasus rapat muatan seragam $\lambda \ne \lambda(l)$ atau bernilai konstan. Pembahasan saat ini dibatasi untuk kasus $\lambda \ne \lambda(l)$.

at perpendicular distance

Terdapat suatu muatan garis berbentuk kawat bermuatan total $Q$ yang terletak pada sumbu $x$ dengan membentang dari $x = -L_1$ sampai $x = +L_2$ seperti ditunjukkan pada Gambar 1 . Titik pengamatan $\rm P$ tempat medan listrik ingin dihitung berjarak tegak lurus $R$ dari kawat dan terletak pada sumbu $y$.

Gambar 1. Elemen medan listrik $d\vec{E}$ disebabkan oleh elemen muatan $dq$ yang merupakan bagian dari muatan garis dengan panjang total $L_1 + L_2$.

Dari Gambar 1 dapat diperoleh

\begin{equation}\label{eqn:perp-dist-case-rel-dist} \begin{array}{rcl} \vec{r} - \vec{r}_q & = & R\hat{y} - x\hat{x}, \newline |\vec{r} - \vec{r}_q| & = & \sqrt{R^2 + x^2}. \end{array} \end{equation}

Substitusi Persamaan \eqref{eqn:charge-element}, dengan $dl \equiv dx$, dan \eqref{eqn:perp-dist-case-rel-dist} ke Persamaan \eqref{eqn:efield-charge-distribution} akan menghasilkan

\begin{equation}\label{eqn:dE-line-charge-perp} \begin{array}{rcl} d\vec{E}_q & = & \displaystyle k \ \frac{dq}{| \vec{r} - \vec{r}_q |^3} \ (\vec{r} - \vec{r}_q) \newline & = & \displaystyle k \ \frac{\lambda dx}{(R^2 + x^2)^{3/2}} \ (R\hat{y} - x\hat{x}) \newline & = & dE _{qx} \ \hat{x} + dE _{qy} \ \hat{y} \newline \vec{E}_q & = & E _{qx} \ \hat{x} + E _{qy} \ \hat{y} \end{array} \end{equation}

dengan

\begin{equation}\label{eqn:dEx-line-charge-perp} E _{qx} = \int dE _{qx} = -k\lambda \int \frac{x \ dx}{(R^2 + x^2)^{3/2}} \end{equation}

dan

\begin{equation}\label{eqn:dEy-line-charge-perp} E _{qy} = \int dE _{qy} = kR\lambda \int \frac{dx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}. \end{equation}

Bagian integral pada suku paling kanan di kedua Persamaan \eqref{eqn:dEx-line-charge-perp} dan \eqref{eqn:dEy-line-charge-perp} perlu dipecahkan untuk mendapatkan medan listrik di titik $\rm P$.

Untuk arah $x$ diperoleh

\begin{equation}\label{eqn:dEx-line-charge-perp-result} \begin{array}{rcl} E _{qx} & = & \displaystyle -k\lambda \int \frac{x \ dx}{(R^2 + x^2)^{3/2}} \newline & = & \displaystyle (-k\lambda) \left(-\frac{1}{(R^2 + x^2)^{1/2}} \right) + C \newline & = & \displaystyle \frac{k\lambda}{(R^2 + x^2)^{1/2}} + C \end{array} \end{equation}

dan untuk aray $y$ didapatkan

\begin{equation}\label{eqn:dEy-line-charge-perp-result} \begin{array}{rcl} E _{qy} & = & \displaystyle kR\lambda \int \frac{dx}{(R^2 + x^2)^{3/2}} \newline & = & \displaystyle (kR\lambda) \left( \frac{1}{R^2} \ \frac{x}{\sqrt{R^2 + x^2}} \right) + C \newline & = & \displaystyle \frac{k\lambda}{R} \ \frac{x}{\sqrt{R^2 + x^2}} + C. \end{array} \end{equation}

Persamaan \eqref{eqn:dEx-line-charge-perp-result} dan \eqref{eqn:dEy-line-charge-perp-result} masih merupakan hasil integral tak-tentu. Untuk mendapatkan nilai medan listrik pada arah $x$ dan $y$ pada titik $\rm P$ seperti dalam Gambar 1 perlu dimasukkan batas-batas integral yang diberikan pada Gambar 2 berikut ini.

Gambar 2. Batas-batas integral untuk mencari medan listrik di titik $\rm P$, yang dapat berupa $x$ atau $\theta$ bergantung pada bentuk akhir antiderivatif yang diperoleh apakah dalam fungsi $x$ atau $\theta$.

Dengan memanfaatkan informasi yang diberikan dalam Gambar 2 Persamaan \eqref{eqn:dEx-line-charge-perp-result} dan \eqref{eqn:dEy-line-charge-perp-result} akan menjadi

\begin{equation}\label{eqn:dEx-line-charge-perp-result-at-P} \begin{array}{rcl} E _{qx}({\rm P}) & = & \displaystyle -k\lambda \int _{-L_1}^{L_2} \frac{x \ dx}{(R^2 + x^2)^{3/2}} \newline & = & \displaystyle k\lambda \left[ \frac{1}{\sqrt{R^2 + x^2}} \right] _{x = -L_1}^{L_2} \newline & = & \displaystyle k\lambda \left( \frac{1}{\sqrt{R^2 + (L_2)^2}} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + (-L_1)^2}} \right) \newline & = & \displaystyle k\lambda \left( \frac{1}{\sqrt{R^2 + L_2^2}} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + L_1^2}} \right) \end{array} \end{equation}

dan

\begin{equation}\label{eqn:dEy-line-charge-perp-result-at-P} \begin{array}{rcl} E _{qy}({\rm P}) & = & \displaystyle kR\lambda \int _{-L_1}^{L_2} \frac{dx}{(R^2 + x^2)^{3/2}} \newline & = & \displaystyle \frac{k\lambda}{R} \left[ \frac{x}{\sqrt{R^2 + x^2}} \right] _{x = -L_1}^{L_2} \newline & = & \displaystyle \frac{k\lambda}{R} \left[ \frac{(L_2)}{\sqrt{R^2 + (L_2)^2}} - \frac{(-L_1)}{\sqrt{R^2 + (-L_1)^2}} \right] \newline & = & \displaystyle \frac{k\lambda}{R} \left( \frac{L_2}{\sqrt{R^2 + L_2^2}} + \frac{L_1}{\sqrt{R^2 + L_1^2}} \right). \end{array} \end{equation}

Dengan demikian dapat dituliskan

\begin{equation}\label{eqn:E-line-charge-perp-solution} \begin{array}{rcl} \vec{E}_q({\rm P}) & = & E _{qx} \ \hat{x} + dE _{qy} \ \hat{y} \newline & = & \displaystyle k\lambda \left( \frac{1}{\sqrt{R^2 + L_2^2}} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + L_1^2}} \right) \ \hat{x} \newline && + \displaystyle \frac{k\lambda}{R} \left( \frac{L_2}{\sqrt{R^2 + L_2^2}} + \frac{L_1}{\sqrt{R^2 + L_1^2}} \right) \ \hat{y}, \end{array} \end{equation}

yang merupakan solusi dari medan listrik di titik $\rm P$ pada Gambar 1 .

Gambar 3. Sebuah kawat muatan garis dengan panjang $L = L_L + L_R$ berorientasi sembarang deengan medan listrik $\vec{E}$ di titik $\rm P$ yang disebabkannya, di mana total muatannya adalah $+Q$ dan rapat muatan liniernya bersifat seragam $\lambda \ne \lambda(l)$.

Persamaan \eqref{eqn:E-line-charge-perp-solution} dapat dibuat menjadi lebih umum sehingga dapat menggambarkan medan listrik pada titik $\rm P$ pada Gambar 3 yang memiliki orientasi sembarang.

finite length general

Persamaan \eqref{eqn:E-line-charge-perp-solution} merupakan solusi dari Gambar 4 di bawah ini.

Gambar 4. Medan listrik oleh suatu muatan garis berbentuk kawat berhingga dengan panjang sebelah kiri $L_1$ dan sebelah kanan $L_2$ dari titik pengamatan $\rm P$ yang berjarak $R$ dari kawat.

Perbedaan panjang $L_1$ dan $L_2$ akan menentukan arah medan listrik yang diperoleh dari

\begin{equation}\label{eqn:E-line-charge-perp-solution-case-1} \begin{array}{rcl} \vec{E}_q({\rm P}) & = & \displaystyle k\lambda \left( \frac{1}{\sqrt{R^2 + L_2^2}} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + L_1^2}} \right) \ \hat{x} \newline && + \displaystyle \frac{k\lambda}{R} \left( \frac{L_2}{\sqrt{R^2 + L_2^2}} + \frac{L_1}{\sqrt{R^2 + L_1^2}} \right) \ \hat{y}, \end{array} \end{equation}

yang merupakan penulisan kembali dari Persamaan \eqref{eqn:E-line-charge-perp-solution}. Perhatikan bahwa komponen pada arah $y$ selalu positif, sedangkan komponen pada arah $x$ ditentukan oleh nilai $L_1$ dan $L_2$. Bila $L_1 > L_2$ maka $E_x > 0$ dan bila $L_1 < L_2$ maka $E_x < 0$. Selanjutnya

finite length at the center

Terdapat kasus titik $\rm P$ terletak di tengah-tengah kawat atau $L_1 = L_2$ sebagaimana disajikan pada Gambar 5 .

Gambar 5. Medan listrik oleh suatu muatan garis berbentuk kawat berhingga dengan panjang sebelah kiri $L_1$ dan sebelah kanan $L_2$ dari titik pengamatan $\rm P$ yang berjarak $R$ dari kawat, untuk kasus $L_1 = L_2$.

Kasus pada Gambar 5 akan membuat Persamaan \eqref{eqn:E-line-charge-perp-solution} menjadi

\begin{equation}\label{eqn:E-line-charge-perp-solution-case-2} \begin{array}{rcl} \vec{E}_q({\rm P}) & = & \displaystyle \frac{k\lambda}{R} \left( \frac{L_2}{\sqrt{R^2 + L_2^2}} + \frac{L_1}{\sqrt{R^2 + L_1^2}} \right) \ \hat{y}, \end{array} \end{equation}

yang tidak lagi memiliki komponen pada arah $x$ karena kontribusi dari bagian dengan panjang $L_1$ di sebelah kiri saling meniadakan dengan kontribusi dari bagian dengan panjang $L_2$ di sebelah kanan.

finite length at the one end

Persamaan \eqref{eqn:E-line-charge-perp-solution} dapat pula digunakan untuk jarak tegak lurus terhadap muatan garis di sisi salah satu ujung kawat yang diberikan ilustrasinya pada Gambar 6 di bawah ini,

Gambar 6. Medan listrik oleh suatu muatan garis berbentuk kawat berhingga dengan panjang sebelah kiri $L_1$ dan sebelah kanan $L_2$ dari titik pengamatan $\rm P$ yang berjarak $R$ dari kawat, untuk kasus $L_1 = L$, $L_2 = 0$ (atas) dan $L_1 = 0$, $L_2 = L$ (bawah).

Solusi dari kedua kasus pada Gambar 6 untuk $L_1 = L$, $L_2 = 0$ adalah

\begin{equation}\label{eqn:E-line-charge-perp-solution-case-3-L2=0} \begin{array}{rcl} \vec{E}_q({\rm P}) & = & \displaystyle k\lambda \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + L^2}} \right) \ \hat{x} \newline && + \displaystyle \frac{k\lambda}{R} \left( \frac{L}{\sqrt{R^2 + L^2}} \right) \ \hat{y} \end{array} \end{equation}

dan untuk $L_1 = 0$, $L_2 = L$ adalah

\begin{equation}\label{eqn:E-line-charge-perp-solution-case-3-L1=0} \begin{array}{rcl} \vec{E}_q({\rm P}) & = & \displaystyle k\lambda \left( \frac{1}{\sqrt{R^2 + L^2}} - \frac{1}{R} \right) \ \hat{x} \newline && + \displaystyle \frac{k\lambda}{R} \left( \frac{L}{\sqrt{R^2 + L^2}} \right) \ \hat{y}. \end{array} \end{equation}

Perhatikan bahwa komponen medan listrik pada arah $y$ adalah sama dan pada arah $x$ berbeda tanda pada Persamaan \eqref{eqn:E-line-charge-perp-solution-case-3-L2=0} dan \eqref{eqn:E-line-charge-perp-solution-case-3-L1=0}.

semi infinite length

Selanjutnya bila kawat dapat dianggap amat panjang dan ingin dicari medan listrik pada jarak tegak lurus di sisi salah satu ujungnya seperti diberikan pada Gambar 7 .

Gambar 7. Medan listrik oleh suatu muatan garis berbentuk kawat tak-berhingga dengan panjang sebelah kiri $L_1$ dan sebelah kanan $L_2$ dari titik pengamatan $\rm P$ yang berjarak $R$ dari kawat, untuk kasus $L_1 = \infty$, $L_2 = 0$ (atas) dan $L_1 = 0$, $L_2 = \infty$ (bawah).

Solusi dari Gambar 7 dapat diperoleh kembali dari Persamaan \eqref{eqn:E-line-charge-perp-solution} atau lebih cepat dari Persamaan \eqref{eqn:E-line-charge-perp-solution-case-3-L2=0} dan \eqref{eqn:E-line-charge-perp-solution-case-3-L1=0} dengan menerapkan $L = \infty$, yang akan memberikan

\begin{equation}\label{eqn:E-line-charge-perp-solution-case-3-L2-very-long} \vec{E}_q({\rm P}) = \frac{k\lambda}{R} \ \hat{x} + \frac{k\lambda}{R} \ \hat{y} \end{equation}

dan

\begin{equation}\label{eqn:E-line-charge-perp-solution-case-3-L1-very-long} \vec{E}_q({\rm P}) = - \frac{k\lambda}{R} \ \hat{x} + \frac{k\lambda}{R} \ \hat{y}. \end{equation}

Kembali perhatikan bahwa komponen medan listrik pada arah $y$ adalah sama dan pada arah $x$ berbeda tanda pada Persamaan \eqref{eqn:E-line-charge-perp-solution-case-3-L2-very-long} dan \eqref{eqn:E-line-charge-perp-solution-case-3-L1-very-long}.

infinite length

Kasus terakhir adalah untuk muatan garis berbentuk kawat lurus dengan panjang tak-hingga yang medan listrik di sisinya ingin dicari seperti disajikan pada Gambar 8 . Dikarenakan panjang tak-hingga pada kedua sisinya, dapat dianggap posisi titik pengamatan $\rm P$ berada di tengah-tengah panjang kawat.

Gambar 8. Medan listrik oleh suatu muatan garis berbentuk kawat tak-berhingga dengan panjang sebelah kiri dan sebelah kanan, dari titik pengamatan $\rm P$ yang berjarak $R$ dari kawat, bernilai $\infty$.

Ketimbang menggunakan Persamaan \eqref{eqn:E-line-charge-perp-solution} untuk kasus ini, lebih cepat bila menggunakan Persamaan \eqref{eqn:E-line-charge-perp-solution-case-2} dan menerapkan $L_1 = L_2 = \infty$ yang akan memberikan

\begin{equation}\label{eqn:E-line-charge-perp-solution-case-4} \vec{E}_q({\rm P}) = \frac{2k\lambda}{R} \ \hat{y}. \end{equation}

Untuk kasus pada sisi di tengah-tengah kawat, seperti diberikan oleh Persamaan Persamaan \eqref{eqn:E-line-charge-perp-solution-case-2} dan \eqref{eqn:E-line-charge-perp-solution-case-4}, komponen pada arah $x$, atau pada arah sejajar panjang kawat, akan bernilai nol karena bagian di sebelah kiri dan kanan titik pengamatan akan saling meniadakan.

exer

1. Apakah formulasi medan listrik pada jarak $R$ di sisi salah satu ujung kawat tak-hingga pada Persamaan \eqref{eqn:E-line-charge-perp-solution-case-3-L1-very-long} dan \eqref{eqn:E-line-charge-perp-solution-case-3-L2-very-long} dapat digunakan untuk mendapatkan formulasi medan listrik pada sisi di tengah-tengah kawat panjang tak-hingga pada Persamaan \eqref{eqn:E-line-charge-perp-solution-case-4}? Bila ya, bagaimana caranya?
2. Terkait dengan pertanyaan sebelumnya, apakah dapat berlaku sebaliknya? Mengapa?

note

1. physicscatalyst, “Electric field due to Line Charge”, Physics Catalyst, 2019, url https://physicscatalyst.com/elec/electric-field-line-charge.php [20220104].
2. Willy McAllister, “Line of charge”, Khan Academy, 2022, url https://www.khanacademy.org/science/electrical-engineering/ee-electrostatics/ee-fields-potential-voltage/a/ee-electric-field-near-a-line-of-charge [20220104].
3. OpenStax, “Calculating Electric Fields of Charge Distributions”, University Physics, Physics LibreText, 6 Nov 2020, url https://phys.libretexts.org/@go/page/4376 [20220104].
4. Carl R. Nave, “Electric Field of Line Charge”, HyperPhysics, 2017, url http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elelin.html [20220104].
5. Sen-ben Liao, Peter Dourmashkin, John W. Belcher, “Coulomb’s Law”, Physics 8.02 Electricity & Magnetism, Massachusetts Institute of Technology, 2004, url http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/coursenotes/modules/guide02.pdf [20220105].
6. bhdmia, “Field at End of Line of Charge 2”, Physics Forums, 21 Jan 2017, url https://www.physicsforums.com/threads/electric-field-at-the-end-of-a-line-of-charge.901069 [20220105].
7. ParalynxEngineering.com, “Coulomb’s Constant Explained”, Paralynx Engineering Inc., 1 Nov 2016, url https://www.paralynxengineering.com/coulombs-constant-explained.shtml [20220105].

comments

electric charge • electric field • charge distribution {% comment %} • {% endcomment %}

{% comment %} {% endcomment %}