surf chrg e field annulus axis

Medan listrik oleh muatan permukaan berbentuk cakram pada posisi di sepanjang sumbu utamanya dapat diperoleh dari medan listrik oleh muatan garis berbentuk cincin yang diintegralkan terhadap jari-jari cincin [ 1 ] atau terhadap sudut yang dibentuk oleh sumbu utama cakram dan sisi yang menghubungkan titik amat dengan posisi radial cincin [ 2 ]. Di sepanjang sumbu cakram medan listrik merupakan fungsi dari jarak terhadap pusat cakram [ 3 ]. Ketimbang langsung membahas cakram, formulasi yang tersedia dapat diperluas menjadi bentuk anulus, suatu cakram dengan lubang berupa lingkaran tepat di tengah-tengahnya [ 4 ].

ring of charge

Medan listrik oleh cincin bermuatan $Q$ dengan jari-jari $R$ pada titik amat $\rm P$ yang berjarak $H$ dari pusat cincin diberikan oleh

\begin{equation}\label{eqn:E-ring-charge-axis-solution} \vec{E}({\rm P}) = \hat{z} k \frac{Q \ H}{(H^2 + R^2)^{3/2}}, \end{equation}

dengan ilustrasinya diberikan pada gambar berikut ini.

Gambar 1. Medan listrik $\vec{E}$ akibat muatan garis, yang berbentuk cincin dengan jari-jari $R$ dan muatan total $Q$, pada suatu titik amat $\rm P$ yang berjarak $H$ dari pusat cincin.

Persamaan \eqref{eqn:E-ring-charge-axis-solution} diperoleh untuk rapat muatan linier $\lambda$ yang bersifat seragam atau $\lambda \ne \lambda(r\theta)$, dengan $r\theta$ adalah posisi panjang di sepanjang keliling cincin.

surface charge density

Rapat muatan permukaan secara umum berbentuk

\begin{equation}\label{eqn:surface-charge-density} \sigma = \frac{dq}{dA}, \end{equation}

yang bila bersifat seragam akan menjadi

\begin{equation}\label{eqn:surface-charge-density-uniform} \sigma = \frac{Q}{A}, \end{equation}

dengan $Q$ adalah muatan total cakram dan $A$ adalah luas cakram. Untuk suatu cakram elemen digunakan

\begin{equation}\label{eqn:disc-surface-element} dA = 2\pi r dr \end{equation}

sebagai elemen luasnya.

uniformly charged annulus

Suatu muatan permukaan berbentuk anulus dapat dibentuk dari elemen cincin bermuatan yang telah diberikan pada Gambar 1 .

Gambar 2. Elemen medan listrik $d\vec{E}$ akibat elemen cincin dengan tebal $dR$ dan muatan $dQ$.

Persamaan \eqref{eqn:E-ring-charge-axis-solution} perlu dituliskan menjadi

\begin{equation}\label{eqn:dE-disc} d\vec{E} = \hat{z} k \frac{dq \ H}{(H^2 + r^2)^{3/2}}, \end{equation}

karena sekarang menjadi elemen medan listrik $d\vec{E}$ yang disebabkan oleh elemen muatan $dq$ yang terletak pada posisi $\vec{r}$. Substitusi Persamaan \eqref{eqn:surface-charge-density} dan \eqref{eqn:disc-surface-element} ke Persamaan \eqref{eqn:dE-disc} akan memberikan

\begin{equation}\label{eqn:E-annulus-uniformly-charged} \begin{array}{rcl} d\vec{E} & = & \displaystyle \hat{z} k \frac{\sigma dA \ H}{(H^2 + r^2)^{3/2}} \newline & = & \displaystyle \hat{z} k \frac{\sigma 2\pi rdr \ H}{(H^2 + r^2)^{3/2}}, \newline \vec{E} & = & \int d\vec{E}, \newline & = & \displaystyle \hat{z} k \sigma 2\pi H \int \frac{ rdr}{(H^2 + r^2)^{3/2}} \newline & = & \displaystyle - \hat{z} k \sigma 2\pi H \frac{1}{(H^2 + r^2)^{1/2}} + C, \newline \vec{E}({\rm P}) & = & \displaystyle - \hat{z} k \sigma 2\pi H \left[ \frac{1}{(H^2 + r^2)^{1/2}} \right] _{r = R_1} ^{R_2} \newline & = & \displaystyle - \hat{z} k \sigma 2\pi H \left[ \frac{1}{(H^2 + R_2^2)^{1/2}} \right. \newline && \displaystyle \left. - \frac{1}{(H^2 + R_1^2)^{1/2}} \right] \newline & = & \displaystyle \hat{z} k \sigma 2\pi H \left[ \frac{1}{(H^2 + R_1^2)^{1/2}} \right. \newline && \displaystyle \left. - \frac{1}{(H^2 + R_2^2)^{1/2}} \right], \end{array} \end{equation}

di mana baris terakhir ditukar agar nilai medan listrik bertanda positif, dikarenakan $R_2 > R_1$ sebagai batas-batas integral yang ilustrasinya telah diberikan pada Gambar 2 .

uniformly charged disc

Untuk suatu cakram berapat muatan permukaan seragam Persaman \eqref{eqn:E-annulus-integral} akan menjadi

\begin{equation}\label{eqn:E-disc-uniformly-charged} \begin{array}{rcl} \vec{E}({\rm P}) & = & \displaystyle \hat{z} k \sigma 2\pi H \left( \frac{1}{H} - \frac{1}{\sqrt{H^2 + R^2}} \right) \newline & = & \displaystyle \hat{z} k \sigma 2\pi \left( 1 - \frac{H}{\sqrt{H^2 + R^2}} \right) \newline & = & \displaystyle \hat{z} k \sigma 2\pi \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{1 + (R/H)^2}} \right), \end{array} \end{equation}

yang diperoleh dengan menerapkan $R_1 = 0$ dan $R_2 = R$. Seperti halnya muatan titik, cincin, dan garis, pada jarak yang jauh dari cakram medan listrik juga akan menjadi nol, yang diperoleh dengan menerapkan $H = \infty$.

above and below

Baik Persamaan \eqref{eqn:E-annulus-uniformly-charged} maupun \eqref{eqn:E-disc-uniformly-charged} nilai $H$ bergantung dari posisi titik amat terhadap bidang cakram atau bidang $xy$. Agar lebih jelas kedua persamaan tersebut dapat dituliskan kembali menjadi

\begin{equation}\label{eqn:E-annulus-uniformly-charged-z} \begin{array}{rcl} \vec{E}_{\rm annu}(z) & = & \displaystyle \hat{z} k \sigma 2\pi z \left( \frac{1}{\sqrt{z^2 + R_1^2}} \right. \newline && \displaystyle \left. - \frac{1}{\sqrt{z^2 + R_2^2}} \right), \end{array} \end{equation}

dan

\begin{equation}\label{eqn:E-disc-uniformly-charged-z} \vec{E}_{\rm disc}(z) = \hat{z} k \sigma 2\pi z \left( \frac{1}{|z|} - \frac{1}{\sqrt{z^2 + R^2}} \right), \end{equation}

yang akan bertanda positif saat $z > 0$ dan bertanda negatif saat $z < 0$.

exer

1. Mengapa pada baris akhir suku dalam kurung pada Persamaan \eqref{eqn:E-annulus-uniformly-charged} ditukar posisinya?
2. Mengapa penyebut suku pertama dalam kurung pada Persamaan \eqref{eqn:E-disc-uniformly-charged-z} diberi tanda mutlak $| z |$?

note

1. Carl R. Nave, “Electric Field:Disc of Charge”, HyperPhysics, 2017, url http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elelin.html#c3 [20220110].
2. Jeremy Tatum, “Field on the Axis of a Uniformly Charged Disc”, Celestial Mechanics (Tatum), University of Victoria, 21 Jun 2021, url https://phys.libretexts.org/@go/page/6476 [20220110].
3. Toppr Admin, “Electric field of a thin charged disc”, Toppr, 28 Oct 2019, url https://www.toppr.com/ask/question/the-surface-charge-density-of-a-thin-charged-disc-of/ [20220110].
4. Wikipedia contributors, “Annulus (mathematics)”, Wikipedia, The Free Encyclopedia, 6 January 2022, 06:30 UTC, url https://en.wikipedia.org/w/index.php?oldid=1064031626 [20220110].

comments

electric charge • electric field • charge distribution {% comment %} • {% endcomment %}

{% comment %} {% endcomment %}