lin chrg e field arc

Medan listrik oleh suatu busur lingkaran pada titik pusat busur lingkaran dapat diperoleh dengan menggunakan elemen panjang muatan pada koordinat polar dan kemudian mengintegralkannya [ 1 ] atau menggunakan solusi dari medan listrik di sepanjang sumbu cincin dengan tidak mengintegralkan penuh keliling cincinnya, di mana untuk cincin umumnya diberikan rumusan untuk cincin penuh [ 2 ].

ring of charge

Medan listrik sebuah muatan cincin diilustrasikan seperti gambar berikut ini dengan $\rm P$ adalah titik amat tempat medan listrik $\vec{E}$ ingin diperoleh.

Gambar 1. Elemen muatan $dq$ pada muatan cincin dan elemen medan listrik yang disebabkannya.

Dapat diperoleh

\begin{equation}\label{eqn:Ex-ring-charge} E_x = \displaystyle -k \frac{\lambda \ R^2}{(H^2 + R^2)^{3/2}} \sin\theta, \end{equation}

\begin{equation}\label{eqn:Ey-ring-charge} E_y = k \frac{\lambda \ R^2}{(H^2 + R^2)^{3/2}} \cos\theta, \end{equation}

dan

\begin{equation}\label{eqn:Ez-ring-charge} E_z = k \frac{\lambda \ RH}{(H^2 + R^2)^{3/2}} \ \theta, \end{equation}

yang merupakan komponen medan listrik pada arah $x$, $y$, dan $z$. Persamaan \eqref{eqn:Ex-ring-charge}, \eqref{eqn:Ey-ring-charge}, dan \eqref{eqn:Ez-ring-charge} diperoleh untuk $\lambda$ seragam.

arc of linear charge

Untuk titik amat di tengah suatu busur lingkaran, tidak terdapat jarak pada arah $z$ atau $H = 0$ sehingga Persamaan \eqref{eqn:Ex-ring-charge}, \eqref{eqn:Ey-ring-charge}, dan \eqref{eqn:Ez-ring-charge} akan tereduksi menjadi

\begin{equation}\label{eqn:Ex-arc-charge} E_x = -k \frac{\lambda}{R} \sin\theta \end{equation}

dan

\begin{equation}\label{eqn:Ey-arc-charge} E_y = k \frac{\lambda}{R} \cos\theta, \end{equation}

dengan $\theta$ dimulai dari sumbu $x$ dan berputar ke arah sumbu $y$ atau berlawanan arah dengan arah putar jarum jam.

Perlu diingat bahwa Persamaan \eqref{eqn:Ex-ring-charge}, \eqref{eqn:Ey-ring-charge}, \eqref{eqn:Ez-ring-charge}, \eqref{eqn:Ex-arc-charge}, dan \eqref{eqn:Ey-arc-charge} masih merupakan hasil integral tak-tentu dalam mencari $\vec{E}$, sehingga saat akan diterapkan perlu digunakan batas bawah dan batas atas integral sesuai dengan konfigurasi sumber muatan garisnya yang berbentuk busur lingkaran, yang dalam hal ini adalah sudut awal $\theta_1$ dan sudut akhir $\theta_2$.

arc on $-x$ axis

Muatan garis berbentuk busur lingkaran dapat digambarkan terletak pada sumbu $x$ negatif dengan dimulai dari kuadran dua dan berarkhir di kuadran ketiga, di mana sumbu simetri busur tersebut adalah sumbu $x$ [ 1 ]. Gambar 1 berikut memberikan ilustrasi sistem yang dimaksud.

Gambar 2. Elemen muatan $dq$ pada muatan garis berbentuk busur lingkaran dan elemen medan listrik $d\vec{E}$ yang disebabkannya.

Dari Gambar 1 busur dimulai dari sudut $\theta_1 = \pi - \frac12 \phi$ dan diakhir pada sudut sudut $\theta_2 = \pi + \frac12 \phi$, yang apabila diterapkan pada Persamaan \eqref{eqn:Ex-arc-charge} dan \eqref{eqn:Ey-arc-charge} akan memberikan

\begin{equation}\label{eqn:Ex-arc-charge-on-left} E_x = 2k \frac{\lambda}{R} \sin\tfrac12\phi \end{equation}

dan

\begin{equation}\label{eqn:Ey-arc-charge-on-left} E_y = 0. \end{equation}

Medan listrik pada arah $y$ bernilai nol karena bagian busur yang terletak di atas sumbu $x$ saling meniadakan dengan bagian busur yang terletak di bawah sumbu $x$.

exer

1. Bagaimana bentuk Persaamaan \eqref{eqn:Ex-arc-charge-on-left} dan \eqref{eqn:Ey-arc-charge-on-left} bila muatan garis berbentuk busur terletak pada sumbu $x$ positif?
2. Bagaimana medan listrik yang disebabkan oleh muatan garis berbentuk busur lingkaran pada pusatnya bila sumber muatan garis merupakan lingkaran penuh atau cincin?

note

1. Vedantu Content Team, “Find the electric field at the center of an arc of linear charge density λ, radius R subtending angle ϕ at the center”, Vedantu, 20 Nov 2020, url https://www.vedantu.com/question-answer/find-the-electric-field-at-the-center-of-an-arc-class-12-physics-cbse-5fb721686ad6283e7093bed8 [20220109].
2. Carl R. Nave, “Electric Field: Ring of Charge”, HyperPhysics, 2017, url http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elelin.html#c2 [20220109].

comments

electric charge • electric field • charge distribution {% comment %} • {% endcomment %}

{% comment %} {% endcomment %}