butiran

integral list 0

Terdapat banyak sumber daftar atau tabel integral yang dapat diakses untuk 112 fungsi [ 1 ], 134 fungsi [ 2 ] dan sejumlah lainnya [ 3 ]. Fungsi-fungsi yang dicantumkan di sini adalah yang digunakan pada bugx.

int00

Medan lisrik oleh muatan garis pada jarak tegak lurus tertentu untuk komponen searah dengan muatan garis melibatkan bentuk integral berikut

\begin{equation}\label{eqn:int-00} \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{x \ dx}{(R^2 + x^2)^{3/2}} & = & \displaystyle \int \frac{\frac12 d(R^2 + x^2)}{(R^2 + x^2)^{3/2}} \newline & = & \frac12 \cdot -2 \displaystyle \frac{1}{(R^2 + x^2)^{1/2}} + C \newline & = & - \displaystyle \frac{1}{(R^2 + x^2)^{1/2}} + C, \end{array} \end{equation}

dengan $C$ suatu konstanta.

int01

Medan lisrik oleh muatan garis pada jarak tegak lurus tertentu untuk komponen tegak lurus muatan garis melibatkan bentuk integral berikut

\begin{equation}\label{eqn:int-01} \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{dx}{(R^2 + x^2)^3} & = & \displaystyle \int \frac{d(R\cot\theta)}{(R^2 + R^2 \cot^2 \theta)^{3/2}} \newline & = & \displaystyle \int \frac{-R \csc^2 \theta d\theta}{(R^2 \csc^2 \theta)^{3/2}} \newline & = & \displaystyle \int \frac{-R \csc^2 \theta d\theta}{R^3 \csc^3 \theta} \newline & = & \displaystyle - \frac{1}{R^2} \int \frac{d\theta}{ \csc \theta} \newline & = & \displaystyle - \frac{1}{R^2} \int \sin\theta d\theta \newline & = & \displaystyle \frac{1}{R^2} \ \cos\theta + C \newline & = & \displaystyle \frac{1}{R^2} \ \frac{x}{\sqrt{R^2 + x^2}} + C, \end{array} \end{equation}

dengan $C$ suatu konstanta. Dengan hubungan

$$ \tan\theta = \frac{R}{x}, \ \ \ \ \cot\theta = \frac{x}{R}, $$

sehingga

$$ \cos \theta = \frac{x}{\sqrt{R^2 + x^2}} $$

yang menjelaskan bagaimana baris terakhir pada Persamaan \eqref{eqn:int-01} diperoleh dari baris sebelumnya.

int02

Medan listrik pada jarak $B$ dari ujung kanan suatu muatan garis dengan rapat muatan linier $\lambda$ dan $A = (x_1 + L + B)$ memerlukan pemecahan bentuk integral berikut

\begin{equation}\label{eqn:int-02} \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{dx}{(A - x)^2} & = & \displaystyle \int \frac{-d(A - x)}{(A - x)^2} \newline & = & \displaystyle \frac{1}{(A - x)} + C, \end{array} \end{equation}

dengan $C$ suatu konstanta.

int03

Komponen medan listrik pada arah $x$ di luar daerah muatan garis pada jarak tegak lurus $R$ dan jarak sejajar $B$ dari ujung kanan melibatkan bentuk integral

\begin{equation}\label{eqn:int-03} \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{(A - x) \ dx}{[ (A - x)^2 + R^2 ]^{3/2}} & = & \displaystyle \int \frac{ -\frac12 \ d[(A - x)^2 + R^2]}{[ (A - x)^2 + R^2 ]^{3/2}} \newline & = & -\frac12 \displaystyle \cdot -2 \ \frac{1}{[ (A - x)^2 + R^2 ]^{1/2}} + C \newline & = & \displaystyle \frac{1}{[ (A - x)^2 + R^2 ]^{1/2}} + C, \end{array} \end{equation}

dengan $C$ adalah konstanta.

int04

Komponen medan listrik pada arah $y$ di luar daerah muatan garis pada jarak tegak lurus $R$ dan jarak sejajar $B$ dari ujung kanan perlu memecahkan bentuk integral

\begin{equation}\label{eqn:int-04} \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{dx}{[ (A - x)^2 + R^2 ]^{3/2}} & = & \displaystyle \int \frac{-d(A - x)}{[ (A - x)^2 + R^2 ]^{3/2}} \newline & = & \displaystyle \int \frac{-d(R \cot\theta)}{[ (R \cot\theta)^2 + R^2 ]^{3/2}} \newline & = & \displaystyle \int \frac{-R(-\csc^2\theta d\theta)}{R^3 \csc^3 \theta} \newline & = & \displaystyle \frac{1}{R^2} \int \frac{d\theta}{\csc\theta} \newline & = & \displaystyle \frac{1}{R^2} \int \sin\theta d\theta \newline & = & \displaystyle -\frac{1}{R^2} \cos\theta + C \newline & = & \displaystyle -\frac{1}{R^2} \frac{(A - x)}{\sqrt{(A - x)^2 + R^2}} + C, \end{array} \end{equation}

dengan $C$ adalah konstanta dan hubungan

$$ (A - x) = R \cot \theta, \ \ \ \ \cos\theta = \frac{(A - x)}{\sqrt{(A - x)^2 + R^2}} $$

diperlukan pada untuk mendapatkan baris terakhir.

int05

Komponen $x$ dan $y$ medan listrik oleh cakram dengan menggunakan elemen luas pada koordinat polar memerlukan bentuk berikut

\begin{equation}\label{eqn:int-05a} \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{r^2 dr}{(z^2 + r^2)^{3/2}} & = & \displaystyle \int \frac{r \ \frac12 d(z^2 + r^2)}{(z^2 + r^2)^{3/2}} \newline & = & \displaystyle - \frac{r}{\sqrt{z^2 + r^2}} + \int \frac{dr}{\sqrt{z^2 + r^2}}. \end{array} \end{equation}

Suku kedua pada ruas kanan Persamaan \eqref{eqn:int-05a} dipecahkan dengan

\begin{equation}\label{eqn:int-05b} \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{dr}{\sqrt{z^2 + r^2}} & = & \displaystyle \int \frac{d(z\cot\theta)}{\sqrt{z^2 + (z\cot\theta)^2}} \newline & = & \displaystyle \int \frac{-z\csc^2\theta d\theta}{\sqrt{z^2 + z^2 \cot^2\theta}} \newline & = & \displaystyle - \int \frac{\csc^2 \theta d\theta}{\csc\theta} \newline & = & \displaystyle - \int \csc\theta d\theta. \end{array} \end{equation}

Suku pada ruas kanan Persamaan \eqref{eqn:int-05b} dipecahkan dengan

\begin{equation}\label{eqn:int-05c} \begin{array}{rcl} \int \csc\theta d\theta & = & \int \csc\theta d\theta \newline & = & \displaystyle \int \csc\theta d\theta \cdot \frac{\cot\theta + \csc\theta}{\cot\theta + \csc\theta} \newline & = & \displaystyle \int \frac{\csc\theta \cot\theta + \csc^2 \theta}{\csc\theta + \cot\theta} d\theta \newline & = & \displaystyle \int \frac{-d(\csc\theta + \cot\theta)}{\csc\theta + \cot\theta} \newline & = & - \ln |\csc\theta + \cot\theta| + C. \end{array} \end{equation}

Pada Persamaan \eqref{eqn:int-05b} telah digunakan

$$ \cot\theta = \frac{r}{z} $$

sehingga dapat diperoleh

$$ \csc\theta = \frac{\sqrt{z^2 + r^2}}{z} $$

yang akan membuat Persamaan \eqref{eqn:int-05c} menjadi

\begin{equation}\label{eqn:int-05d} \begin{array}{rcl} \int \csc\theta d\theta & = & \displaystyle - \ln \left| \frac{\sqrt{z^2 + r^2}}{z} + \frac{r}{z} \right| + C. \end{array} \end{equation}

Substitusi Persamaan \eqref{eqn:int-05d} akan membuat Persamaan \eqref{eqn:int-05b} menjadi

\begin{equation}\label{eqn:int-05e} \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{dr}{\sqrt{z^2 + r^2}} & = & \displaystyle - \int \csc\theta d\theta \newline & = & \displaystyle \displaystyle \ln \left| \frac{\sqrt{z^2 + r^2}}{z} + \frac{r}{z} \right| + C. \end{array} \end{equation}

Substitusi hasil di atas ke Persamaan \eqref{eqn:int-05a} akan menghasilkan

\begin{equation}\label{eqn:int-05f} \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{r^2 dr}{(z^2 + r^2)^{3/2}} & = & \displaystyle - \frac{r}{\sqrt{z^2 + r^2}} + \int \frac{dr}{\sqrt{z^2 + r^2}} \newline & = & \displaystyle - \frac{r}{\sqrt{z^2 + r^2}} \newline && \displaystyle + \ln \left| \frac{\sqrt{z^2 + r^2}}{z} + \frac{r}{z} \right| + C, \end{array} \end{equation}

yang telah dikonfirmasi [ 4 ].

note

  1. B. E. Shapiro, “Table of Integrals”, 2005, url https://www.physics.umd.edu/hep/drew/IntegralTable.pdf [20220105].
  2. B.E.Shapiro, “Table of Integrals”, Integral-Table.com, 15 Jul 2014, url http://integral-table.com/ [20220105].
  3. Wikipedia contributors, “Lists of integrals”, Wikipedia, The Free Encyclopedia, 6 December 2021, 07:41 UTC, https://en.wikipedia.org/w/index.php?oldid=1058901573 [20220105].
  4. “D[(40)-Divide[r,Sqrt[Power[z,2]+Power[r,2]]]+Log[Divide[Sqrt[Power[z,2]+Power[r,2]],z]+Divide[r,z]](41),r]”, Wolfram Alpha, Computational Intelligence, 2022, url https://www.wolframalpha.com/input/?i2d=true&i=D%5B%5C%2840%29-Divide%5Br%2CSqrt%5BPower%5Bz%2C2%5D%2BPower%5Br%2C2%5D%5D%5D%2BLog%5BDivide%5BSqrt%5BPower%5Bz%2C2%5D%2BPower%5Br%2C2%5D%5D%2Cz%5D%2BDivide%5Br%2Cz%5D%5D%5C%2841%29%2Cr%5D [20220110].

comments

{% comment %} data-width=“390” {% endcomment %}

 

line charge electric field • line charge e field beyond {% comment %} • {% endcomment %}

{% comment %} {% endcomment %}