num int app 1

Dengan menggunakan integrasi numerik baik aturan persegi panjang [ 1 ], trapesium [ 2 ], ataupun Simpson [ 3 ], dapat dihitung usaha oleh gaya tidak konstan [ 4 ].

a non-constant force

Sebuah gaya tidak konstan, yang sejajar dengan arah gerak benda, berbentuk

\begin{equation}\label{eqn:non-constant-force} f(x) = 5 + x \sin^2 x \end{equation}

bekerja pada benda mulai dari posisi awal $x_i = 0 \ {\rm m}$ sampai posisi akhir $x_f = 5.37 \ {\rm m}$. Massa benda $m = 4.73 \ {\rm kg}$ dan kecepatan awal benda $v_f = 0$. Ingin dicari usaha oleh gaya pada Persamaan \eqref{eqn:non-constant-force} dan kecepatan akhir benda $v_f$. Antara lantai dengan benda tidak terdapat gesekan dan lantai benar-benar mendatar sehingga gaya yang bekerja pada benda adalah hanyalah $f(x)$.

work

Usaha oleh gaya $f(x)$ pada Persamaan \eqref{eqn:non-constant-force} dapat diperoleh melalui

\begin{equation}\label{eqn:work-of-non-constant-force} W = \int f(x) \ dx = \int_{x_i}^{x_f} (5 + x \sin^2 x) \ dx \end{equation}

yang akan dihitung secara numerik

\begin{equation}\label{eqn:work-of-non-constant-force-numerical} W = \sum_{i = 1}^N \frac{\Delta x}{\alpha} \left[ \beta_1 f(x_i) + \beta_2 f(x_i + \tfrac12\Delta x) + \beta_3 f(x_i + \Delta x) \right] \end{equation}

dengan bentuk di bagian dalam penjumlahan bergantung dari metode numerik yang dipilih.

Tabel 1. Beberapa metode integrasi numerik yang menggunakan pita atau partisi.

Nilai-nilai $\alpha$, $\beta_1$, $\beta_2$, dan $\beta_3$ untuk Persamaan \eqref{eqn:work-of-non-constant-force-numerical} diberikan pada Tabel 1 .

work-kinetic energy theorem

Teorema kerja-energi kinetik memberikan hubungan

\begin{equation}\label{eqn:work-kinetic-energy-theorem} W = \Delta K = K_f - K_i = \tfrac12 m v_f^2 - \tfrac12 m v_i^2 \end{equation}

dengan $W$ adalah usaha oleh semua gaya yang bekerja pada benda. Dengan menggunakan usaha $W$ yang diperoleh dari Persamaan \eqref{eqn:work-of-non-constant-force} atau \eqref{eqn:work-of-non-constant-force-numerical} dapat diperoleh

\begin{equation}\label{eqn:final-velocity} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m} + v_i^2} \end{equation}

yang merupakan kecepatan akhir benda.

code

Persamaan \eqref{eqn:work-of-non-constant-force-numerical} dan \eqref{eqn:final-velocity} dapat dihitung dengan menggunakan program Python berikut ini.

import math

def force(x):
  sinx = math.sin(x)
  f = 5 + x * sinx * sinx
  return f

def intRectLeftPoint(N, xi, xf, f):
  dx = (xf - xi) / N
  A = 0
  for j in range(N):
    xj = xi + j *dx
    Aj = f(xj) * dx
    A = A + Aj
  return A

def intRectRightPoint(N, xi, xf, f):
  dx = (xf - xi) / N
  A = 0
  for j in range(N):
    xj = xi + (j + 1) *dx
    Aj = f(xj) * dx
    A = A + Aj
  return A

def intRectMidPoint(N, xi, xf, f):
  dx = (xf - xi) / N
  A = 0
  for j in range(N):
    xj = xi + j *dx
    Aj = f(xj + 0.5 * dx) * dx
    A = A + Aj
  return A

def intTrap(N, xi, xf, f):
  dx = (xf - xi) / N
  A = 0
  for j in range(N):
    xj = xi + j *dx
    Aj = (f(xj) + f(xj + dx)) * dx / 2
    A = A + Aj
  return A

def intSimp(N, xi, xf, f):
  if N / 2 != round(N /2) :
    N = N + 1
  dx = (xf - xi) / N
  A = 0
  for j in range(N):
    xj = xi + j *dx
    Aj = (f(xj) + 4*f(xj + 0.5*dx) + f(xj + dx)) * dx / 6
    A = A + Aj
  return A

m = 4.73
xi = 0
xf = 5.37
vi = 0

N = 25

Arecl = intRectLeftPoint(N, xi, xf, force)
Arecm = intRectMidPoint(N, xi, xf, force)
Arecr = intRectRightPoint(N, xi, xf, force)
Atrap = intTrap(N, xi, xf, force)
Asimp = intSimp(N, xi, xf, force)

print("Arecl = %.3f" %Arecl)
print("Arecm = %.3f" %Arecm)
print("Arecr = %.3f" %Arecr)
print("Atrap = %.3f" %Atrap)
print("Asimp = %.3f" %Asimp)

W = Atrap
print("W = %.3f J" %W)
dK = W
vf = math.sqrt(2 * dK / m + vi * vi)
print("vf = %.3f m/s" %vf)

dengan hasilnya adalah

Output:

Arecl = 35.136
Arecm = 35.524
Arecr = 35.858
Atrap = 35.497
Asimp = 35.515
W = 35.497 J
vf = 3.874 m/s

saat dijalankan. Program di atas dapat dieksekusi secara daring di OneCompiler 3xvjm3mh2 .

note

1. Eric Cai, “Rectangular Integration (a.k.a. The Midpoint Rule) – Conceptual Foundations and a Statistical Application in R”, The Chemical Statistician, 20 Jan 2014, url https://chemicalstatistician.wordpress.com/2014/01/20/rectangular-integration-a-k-a-the-midpoint-rule/ [20220309].
2. Wikipedia contributors, “Trapezoidal rule”, Wikipedia, The Free Encyclopedia, 10 January 2022, 22:37 UTC, url https://en.wikipedia.org/w/index.php?oldid=1064927064 [20220309].
3. Wikipedia contributors, “Simpson’s rule”, Wikipedia, The Free Encyclopedia, 6 March 2022, 19:03 UTC, url https://en.wikipedia.org/w/index.php?oldid=1075614881 [20220309].
4. Peter Dourmashkin, “Work done by Non-Constant Forces”, Classical Mechanics, 31 Dec 2020, url https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Classical_Mechanics/Classical_Mechanics_(Dourmashkin)/13%3A_Energy_Kinetic_Energy_and_Work/13.05%3A_Work_done_by_Non-Constant_Forces [20220309]

comments

{% comment %} data-width=“390” {% endcomment %}

{% comment %} • {% endcomment %}