rectangular rule

Istilah aturan persegi panjang atau rectangular rule umumnya mengacu pada pendekatan titik tengah atau midpoint, baik secara eksplisit dinyatakan [ 1 ] ataupun secara implisit dalam penjelasannya dengan menggunakan simbol lain [ 2 ]. Penggunaan partisi untuk mendekati luas di bawah kurva dapat pula menggunakan pendekatan ujung-kiri (left-endpoint) dan ujung-kanan (right-endpoint) [ 3 ], serta ukuran partisi yang tidak perlu sama [ 4 ]. Di sini hanya akan dibahas pendekatan dengan ujung-kir, ujung-kanan, dan titik tengah.

partition and point

Integrasi numerik secara umum merupakan perhitungan integral tertenu sehingga memerlukan informasi batas bawah dan batas atas integra, misalnya $x_{\rm beg}$ dan $x_{\rm end}$. Bila terdapat $N$ buah partisi maka dapat diperoleh

\begin{equation}\label{eqn:rectangular-rule-partition-width} \Delta x = \frac{x_{\rm end} - x_{\rm beg}}{N} \end{equation}

yang merupakan lebar partisinya dan

\begin{equation}\label{eqn:rectangular-rule-partition-point} x_i = x_{\rm beg} + \Delta x (i - 1), \ \ \ \ i = 1, 2, .., N+1, \end{equation}

adalah titik-titik pada kurva.

left-endpoint

Suatu fungsi $f(x)$ dapat digambarkan berikut ini dengan luas di bawahnya didekati menggunakan partisi-partisi berupa persegi panjang yang ujung-kiri sisi atasnya mengenai garis kurva.

Gambar 1. Pendekatan luas di bawah kurva dengan partisi berbentuk persegi panjang ujung-kiri.

Dengan menggunakan Gambar 1 dapat diperoleh

\begin{equation}\label{eqn:rectangular-rule-left-endpoint} \int_{x_{\rm beg}}^{x_{\rm end}} f(x) \ dx \approx \sum_{i = 1}^N f(x_i) \ \Delta x, \end{equation}

dengan $N$ adalah jumlah partisi yang masing-masingnya memiliki lebar $\Delta x$.

Sebagai implementasinya dapat digunakan program berikut yang dituliskan dalam bahasa pemrograman Python

# 0301-rectangle-beg-point.py
# Integration with rectangle rule beg point
# Sparisoma Viridi | https://github.com/dudung
# 20220223 Start this example

# define a function
fxs = "3x^2"
def f(x):
  y = 3 * x * x
  return y

# define integral lower and upper bounds
xbeg = 1
xend = 2

# define number of rectangle areas
N = 10
dx = (xend - xbeg) / N

# calculate definite integral
total = 0
x = xbeg
for i in range(N):
  area = f(x) * dx
  total = total + area
  x = x + dx

# display results
print("Rectangle Rule Beg Point")
print("f(x) = ", fxs)
print("xbeg = ", xbeg)
print("xend = ", xend)
print("N = ", N)
print("integral = ", total)

yang akan memberikan hasil

==== RESTART: 0301-rectangle-beg-point.py ====
Rectangle Rule Beg Point
f(x) =  3x^2
xbeg =  1
xend =  2
N =  10
integral =  6.555000000000004

saat dijalankan. Program di atas dapat dijalankan secara daring di OneCompiler 3xu7gdptx .

right-endpoint

Suatu fungsi $f(x)$ dapat digambarkan berikut ini dengan luas di bawahnya didekati menggunakan partisi-partisi berupa persegi panjang yang ujung-kanan sisi atasnya mengenai garis kurva.

Gambar 2. Pendekatan luas di bawah kurva dengan partisi berbentuk persegi panjang ujung-kanan.

Dengan menggunakan Gambar 2 dapat diperoleh

\begin{equation}\label{eqn:rectangular-rule-rigth-endpoint} \int_{x_{\rm beg}}^{x_{\rm end}} f(x) \ dx \approx \sum_{i = 1}^N f(x_{i + 1}) \ \Delta x, \end{equation}

dengan $N$ adalah jumlah partisi yang masing-masingnya memiliki lebar $\Delta x$.

Sebagai implementasinya dapat digunakan program berikut yang dituliskan dalam bahasa pemrograman Python

# 0301-rectangle-end-point.py
# Integration with rectangle rule end point
# Sparisoma Viridi | https://github.com/dudung
# 20220223 Start this example

# define a function
fxs = "3x^2"
def f(x):
  y = 3 * x * x
  return y

# define integral lower and upper bounds
xbeg = 1
xend = 2

# define number of rectangle areas
N = 10
dx = (xend - xbeg) / N

# calculate definite integral
total = 0
x = xbeg
for i in range(N):
  area = f(x+dx) * dx
  total = total + area
  x = x + dx

# display results
print("Rectangle Rule End Point")
print("f(x) = ", fxs)
print("xbeg = ", xbeg)
print("xend = ", xend)
print("N = ", N)
print("integral = ", total)

yang akan memberikan hasil

==== 0301-rectangle-end-point.py ====
Rectangle Rule End Point
f(x) =  3x^2
xbeg =  1
xend =  2
N =  10
integral =  7.455000000000006

saat dijalankan. Program di atas dapat dijalankan secara daring di OneCompiler 3xu7gewh6 .

midpoint

Suatu fungsi $f(x)$ dapat digambarkan berikut ini dengan luas di bawahnya didekati menggunakan partisi-partisi berupa persegi panjang yang titik-tengan sisi atasnya mengenai garis kurva.

Gambar 3. Pendekatan luas di bawah kurva dengan partisi berbentuk persegi panjang titik-tengan.

\begin{equation}\label{eqn:rectangular-rule-midpoint} \int_{x_{\rm beg}}^{x_{\rm end}} f(x) \ dx \approx \sum_{i = 1}^N f( x_{i + \frac12}) \ \Delta x, \end{equation}

dengan $N$ adalah jumlah partisi yang masing-masingnya memiliki lebar $\Delta x$, serta

\begin{equation}\label{eqn:rectangular-rule-partition-midpoint} x_{i + \frac12} = \tfrac12 ( x_i + x_{i+1} ), \end{equation}

yang merupakan titik tengah suatu partisi.

Sebagai implementasinya dapat digunakan program berikut yang dituliskan dalam bahasa pemrograman Python

# 0301-rectangle-mid-point.py
# Integration with rectangle rule mid point
# Sparisoma Viridi | https://github.com/dudung
# 20220223 Start this example

# define a function
fxs = "3x^2"
def f(x):
  y = 3 * x * x
  return y

# define integral lower and upper bounds
xbeg = 1
xend = 2

# define number of rectangle areas
N = 10
dx = (xend - xbeg) / N

# calculate definite integral
total = 0
x = xbeg
for i in range(N):
  area = f(x+dx/2) * dx
  total = total + area
  x = x + dx

# display results
print("Rectangle Rule Mid Point")
print("f(x) = ", fxs)
print("xbeg = ", xbeg)
print("xend = ", xend)
print("N = ", N)
print("integral = ", total)

yang akan memberikan hasil

==== 0301-rectangle-mid-point.py ====
Rectangle Rule Mid Point
f(x) =  3x^2
xbeg =  1
xend =  2
N =  10
integral =  6.997500000000006

saat dijalankan. Program di atas dapat dijalankan secara daring di OneCompiler 3xu7gfvcv .

discussion

Perhatikan bahwa hasil aturan persegi panjang dengan ujung-kiri, ujung-kanan, dan titik-tengah memberikan hasil yang berbeda. Pada contoh di atas baru dicoba dengan jumlah partiksi $N = 10$, dengan aturan persegi panjang titik-tengah memberikan hasil yang paling mendekati hasil perhitungan secara analitik yaitu $7$. Pembandingan ketiga pendekatan dapat dilakukan lebih jauh untuk melihat sampai jumlah partisi berapa ketiganya akan memberikan hasil yang paling baik.

note

1. Eric Cai, “Rectangular Integration (a.k.a. The Midpoint Rule) – Conceptual Foundations and a Statistical Application in R”, The Chemical Statistician, 20 Jan 2014, url https://chemicalstatistician.wordpress.com/2014/01/20/rectangular-integration-a-k-a-the-midpoint-rule/ [20220223].
2. Belgin Seymenoğlu, “The Rectangular Rule”, MATH6501 Mathematics for Engineers 1, Department of Mathematics University College London, Autumn 2016, p 72, url https://www.ucl.ac.uk/~zcahge7/files/6501-LecturesNotes-full.pdf [20220223].
3. Gilbert Strang, Edwin ‘Jed’ Herman, OSCRiceUniversity, “Approximating Areas”, Calculus Volume 1, Pressbooks, 20 Aug 2019, url https://opentextbc.ca/calculusv1openstax/chapter/approximating-areas/ [20220223].
4. Joseph Nebus, “How To Numerically Integrate Like A Mathematician”, nebusresearch, 11 Oct 2014, url https://nebusresearch.wordpress.com/tag/composite-rectangle-rule/ [20220223].

comments

{% comment %} • {% endcomment %}