kinematics equations 1d

Terdapat persamaan-persamaan kinematika yang berjumlah tiga [ 1 ], empat [ 2 , 3 , 4 ], atau lima [ 5 ] yang mengatikan lima variabel kinematika [ 6 , 7 ]. Persamaan-persamaan ini dibatasi untuk digunakan hanya pada kasus gerak lurus dalam 1d dengan percepatan tetap.

kinematic variables

Terdapat lima variabel kinematik yaitu perpindahan $\Delta x$, kecepatan awal $v_0$, kecepatan $v$, percepatan $a$, dan selang waktu $t$. Selang waktu sebenarnya lebih tepat dinyatakan dengan $\Delta t$ akan tetapi formula kinematika telah umum hanya menggunakan dan juga dengan alasan lebih jelas serta sederhana [ 6 ].

Bila ingin lebih detil sebenarnya perpindahan $\Delta t$ dapat diuraikan lagi menjadi posisi awal $x_0$ dan posisi $x$, serta selang waktu $\Delta t$ dapat diuraikan lagi menjadi waktu awal $t_0$ dan waktu $t$. Akan disampaikan kelebihan dan kekurangan pengunaan $\Delta x$ dan $\Delta t$ dibandingkan dengan $x$, $x_0$ dan $t$, $t_0$.

equations

Ketiga, keempat, atau kelima persamaan yang dimaksud adalah sebagai berikut ini

\begin{equation}\label{eqn-kineq-1} v = v_0 + at, \end{equation}

\begin{equation}\label{eqn-kineq-2} \Delta x = \tfrac12 (v_0 + v) \ t, \end{equation}

\begin{equation}\label{eqn-kineq-3} \Delta x = v_0 t + \tfrac12 a t^2, \end{equation}

\begin{equation}\label{eqn-kineq-4} v^2 = v_0^2 + 2a \Delta x, \end{equation}

\begin{equation}\label{eqn-kineq-5} \Delta x = vt - \tfrac12 a t^2. \end{equation}

Ada pula yang menggunakan $s$ sebagai $\Delta x$. Pada setiap Persamaan \eqref{eqn-kineq-1} - \eqref{eqn-kineq-5} terdapat variabel yang tidak perlu diketahui dalam menghitung variabel yang terdapat dalam persamaan-persamaan tersebut.

Tabel 1. Persamaan-persamaan kinematika dan variabel yang tidak perlu diketahui ($\require{cancel}\xcancel{U}$).

Dapat terlihat dari Tabel 1 bahwa pada masaing-masing persamaan terdapat satu variabel yang tidak perlu diketetahui $\xcancel{U}$

flexible forms

Persamaan \eqref{eqn-kineq-1} - \eqref{eqn-kineq-5} dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih fleksibel seperti

\begin{equation}\label{eqn-kineq-1a} v_2 = v_1 + a(t_2 - t_1), \end{equation}

\begin{equation}\label{eqn-kineq-2a} x_2 - x_1 = \tfrac12 (v_1 + v_2) \ (t_2 - t_1), \end{equation}

\begin{equation}\label{eqn-kineq-3a} x_2 - x_1 = v_1 (t_2 - t_1) + \tfrac12 a (t_2 - t_1)^2, \end{equation}

\begin{equation}\label{eqn-kineq-4a} v_2^2 = v_1^2 + 2a (x_2 - x_1), \end{equation}

\begin{equation}\label{eqn-kineq-5a} x_2 - x_1 = v_2 (t_2 - t_1) - \tfrac12 a (t_2 - t_1)^2. \end{equation}

Persamaan \eqref{eqn-kineq-1a} - \eqref{eqn-kineq-5a} akan kembali menjadi Persamaan \eqref{eqn-kineq-1} - \eqref{eqn-kineq-5} bila $x_2 - x_1 \equiv \Delta x$, $t_2 - t_1 \equiv \Delta t \equiv t$, $v_2 \equiv v$, $v_1 \equiv v_0$.

Kekurangan bentuk Persamaan \eqref{eqn-kineq-1a} - \eqref{eqn-kineq-5a} dibandingkan Persamaan \eqref{eqn-kineq-1} - \eqref{eqn-kineq-5} adalah lebih kompleks dalam penulisannya dan jumlah variabel yang terlibat menjadi tujuh dari yang semula hanya lima buah. Sedangkan kelebihannya adalah dapat mengakomodasi posisi akhir $x_2$ bila diketahui posisi awal $x_1$ atau sebaliknya, waktu awal tidak harus nol, dan terlihat konsisten antara variabel pada keadaan awal (indeks $1$) dan variabel pada keadaan akhir (indeks $2$).

unnecessary dx

Bila $\Delta x$ tidak perlu diketahui maka digunakan Persamaan \eqref{eqn-kineq-1} atau \eqref{eqn-kineq-1a}.

Sebuah benda bergerak dengan kecepatan $2 \ \rm m/s$ saat waktu menunjukkan $1 \ \rm s$, tentukanlah kecepatan benda saat waktu $4 \ \rm s$ bila percepatan benda adalah $5 \ \rm m/s^2$.

Dengan menggunakan Persamaan \eqref{eqn-kineq-1} informasi yang dapat diperoleh dari soal adalah

$$ \begin{array}{l} v_0 = 2, \newline t \equiv \Delta t = 4 - 1 = 3, \newline a = 5, \end{array} $$

dan yang ditanya adalah $v$ sehingga

$$ \begin{array}{rcl} v & = & v_0 + at \newline & = & 2 + 5 \cdot 3 \newline & = & 2 + 15 \newline & = & 17. \end{array} $$

Sedangkan informasi yang diperoleh dari soal bila menggunakan Persamaan \eqref{eqn-kineq-1a} adalah

$$ \begin{array}{l} v_1 = 2, \newline t_1 = 1, \newline t_2 = 4, \newline a = 5, \end{array} $$

dan ditanya $v_2$

$$ \begin{array}{rcl} v_2 & = & v_1 + a (t_2 - t_1) \newline & = & 2 + 5 \cdot (4 - 1) \newline & = & 2 + 5 \cdot 3 \newline & = & 2 + 15 \newline & = & 17. \end{array} $$

Hasil yang diperoleh adalah sama. Cara pertama dengan Persamaan \eqref{eqn-kineq-1} memerlukan perhitungan tersirat untuk memperoleh $\Delta t \equiv t$, sedangkan cara kedua dengan Persamaan \eqref{eqn-kineq-1} tidak memerlukan langkah ini.

Pada persamaan yang sedang dibahas ini terdapat empat variabel ($v_0$, $v$, $a$, $t$) sehingga untuk contoh yang sedang dibahas, dapat dibuat tiga soal lainnya yang menanyakan $v_0$, $a$, dan $t$.

unnecessary a

Bila $a$ tidak perlu diketahui maka digunakan Persamaan \eqref{eqn-kineq-2} atau \eqref{eqn-kineq-2a}.

Sebuah benda bergerak dengan kecepatan awal $1 \ \rm m/s$ dan kecepatan akhir $5 \ \rm m/s$ selama $4 \ \rm s$ sebagaimana teramati dengan menggunakan radar kecepatan (speed gun). Hitunglah perpindahan yang ditempuh benda selama pengamatan tersebut.

Informasi yang diperoleh dari soal bila menggunakan Persamaan \eqref{eqn-kineq-2} adalah

$$ \begin{array}{l} v_0 = 1, \newline v = 5, \newline t = 4, \end{array} $$

sehingga perpindahan benda

$$ \begin{array}{rcl} \Delta x & = & \frac12 (v_0 + v) t \newline & = & \frac12 (1 + 5) \cdot 4 \newline & = & \frac12 \cdot 6 \cdot 4 \newline & = & 12 \end{array} $$

dapat diperoleh. Permasalahan ini tidak cocok diselesaikan dengan menggunakan Persamaan \eqref{eqn-kineq-2a} karena informasi yang diberikan kurang, sehingga hanya dapat dituliskan

$$ \begin{array}{l} v_1 = 1, \newline v_2 = 5, \newline t_2 - t_1 = 4, \end{array} $$

untuk mencari

$$ \begin{array}{rcl} x_2 - x_1 & = & \frac12 (v_0 + v) (t_2 - t_1) \newline & = & \frac12 (1 + 5) \cdot 4 \newline & = & \frac12 \cdot 6 \cdot 4 \newline & = & 12, \end{array} $$

yang membuatnya terlihat menjadi lebih kompleks dari seharusnya. Untuk contoh seperti ini disarankan menggunakan Persamaan \eqref{eqn-kineq-2} dan sebaiknya bukan \eqref{eqn-kineq-2a}.

unnecessary v

Bila $v$ tidak perlu diketahui maka digunakan Persamaan \eqref{eqn-kineq-3} atau \eqref{eqn-kineq-3a}.

Sebuah benda dengan percepatan $1 \ \rm m/s^2$ bergerak selama $2 \ \rm s$ dari kecepatan awal $4 \ \rm m/s$. Tentukan posisi akhir benda bila posisi awalnya adalah $5 \ \rm m$.

Persoalan ini lebih sulit diselesaikan dengan Persamaan \eqref{eqn-kineq-3} karena informasi yang dapat diperoleh adalah

$$ \begin{array}{l} v_0 = 4, \newline t = 2, \newline a = 1, \end{array} $$

dan hanya akan memperoleh

$$ \begin{array}{rcl} \Delta x & = & v_0 t + \frac12 a t^2 \newline & = & 4 \cdot 2 + \frac12 \cdot 1 \cdot 2^2 \newline & = & 8 + 2 \newline & = & 10, \end{array} $$

yang untuk mendapatkan posisi akhir $x$ perlu dilakukan langkah tambahan

$$ \begin{array}{rcl} \Delta x & = & x - x_0, \newline x & = & x_0 + \Delta x \newline & = & 5 + 10 \newline & = & 15. \end{array} $$

Dengan Persamaan \eqref{eqn-kineq-3a} informasi yang diperoleh adalah

$$ \begin{array}{l} v_1 = 4, \newline (t_2 - t_1) = 2, \newline a = 1, \newline x_1 = 5, \end{array} $$

dan perlu sedikit dilakukan modifikasi sehingga

$$ \begin{array}{rcl} x_2 - x_1 & = & v_1 (t_2 - t_1) + \frac12 a (t_2 - t_1)^2, \newline x_2 & = & x_1 + v_1 (t_2 - t_1) + \frac12 a (t_2 - t_1)^2 \newline & = & 5 + 4 \cdot 2 + \frac12 \cdot 1 \cdot 2^2 \newline & = & 5 + 8 + 2 \newline & = & 15, \end{array} $$

yang langsung memberikan posisi akhir. Hanya saja dengan langkah kedua ini penulisannya menjadi lebih kompleks dengan suku $(t_2 - t_1)$ alih-alih $t$ yang lebih sederhana. Penulisan dengan mencampur notasi dari Persamaan \eqref{eqn-kineq-3} dan \eqref{eqn-kineq-3a} dapat dilakukan, misalnya

\begin{equation}\label{eqn-kineq-3b} x_2 = x_1 + v_1 t + \tfrac12 a t^2, \end{equation}

khusus untuk kasus ini. Bila makna dari masing-masing suku telah dimengerti, mudah untuk memodifikasi persamaan-persamaan kinematika sehingga sesuai dengan kebutuhan.

unnecessary t

Bila $t$ tidak perlu diketahui maka digunakan Persamaan \eqref{eqn-kineq-4} atau \eqref{eqn-kineq-4a}. Kedua persamaan ini cukup membantu karena terkadang keduanya dilupakan dan dilakukan langkah-langkah yang lebih panjang dengan persamaan-persamaan sebelumnya.

Sebuah benda dengan kecepatan awal $3 \ \rm m/s$ bergerak sejauh $8 \ \rm m$. Bila selama menempuh jarak tersebut percepatan benda adalah $1 \ \rm m/s^2$, hitunglah kecepatan akhir benda.

Dari soal informasi yang diperoleh bila menggunakan Persamaan \eqref{eqn-kineq-3} adalah

$$ \begin{array}{l} v_0 = 3, \newline \Delta x = 4, \newline a = 1, \end{array} $$

sehingga dapat diperoleh

$$ \begin{array}{rcl} v^2 & = & v_0^2 + 2 a \Delta x \newline & = & 3^2 + 2 \cdot 1 \cdot 8 \newline & = & 9 + 16 \newline & = & 25 \newline v & = & \sqrt{25} \newline & = & 5. \end{array} $$

Dengan Persamaan \eqref{eqn-kineq-3a} informasi yang diperoleh adalah

$$ \begin{array}{l} v_1 = 3, \newline x_2 - x_1 = 4, \newline a = 1, \end{array} $$

yang akan memberikan

$$ \begin{array}{rcl} v_2^2 & = & v_1^2 + 2 a (x_2 - x_1) \newline & = & 3^2 + 2 \cdot 1 \cdot 8 \newline & = & 9 + 16 \newline & = & 25 \newline v_2 & = & \sqrt{25} \newline & = & 5. \end{array} $$

Cara kedua ini agak sedikit kompleks akan tetapi sia-sia karena suku $(x_2 - x_1)$ tidak memberikan manfaat tambahan.

unnecessary v0

Bila $v_0$ tidak perlu diketahui maka digunakan Persamaan \eqref{eqn-kineq-5} atau \eqref{eqn-kineq-5a}. Kedua persamaan ini termasuk yang jarang digunakan karena kecepatan awal, yang umumnya telah diketahui, merupakan variabel yang tidak perlu diketahui.

exer

1. Sebuah benda pada waktu nol memiliki kecepatan awal tertentu sehingga setelah bergerak selama $10 \ \rm s$ kecepatannya menjadi $12 \ \rm m/s$. Bila percepatan benda adalah $1 \ \rm m/s^2$, tentukanlah kecepatan awal benda.
2. Dengan menggunakan radar kecepatan sebuah benda diamati selama $4 \ \rm s$ yang bergerak dengan kecepatan awal $1 \ \rm m/s$ dan kecepatan akhir $5 \ \rm m/s$. Bila posisi awal benda adalah $8 \ \rm m$, tentukan posisi akhir benda.
3. Selama menempuh perpindahan sebesar $4.5 \ \rm m$ sebuah benda bergerak dengan percepatan $1 \ \rm m/s^2$. Bila kecepatan awal benda adalah $4 \ \rm m/s$, hitunglah kecepatan akhirnya.

note

1. Dan Fullerton, “Kinematic Equations” in Honors Physics, APlusPhysics, 2021, url https://www.aplusphysics.com/courses/honors/kinematics/honors_kineqn.html [20211023].
2. Carl R. Nave, “Description of Motion in One Dimension”, HyperPhysics, 2017, url http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mot.html#c2 [20201023].
3. -, “Kinematic Equations”, PASCO, 2021, url https://www.pasco.com/products/guides/kinematic-equations [20211023].
4. -, “The Kinematic Equations”, The Physics Classroom, 2021, url https://www.physicsclassroom.com/class/1DKin/Lesson-6/Kinematic-Equations [20211023].
5. Wikipedia contributors, “Equations of motion”, Wikipedia, The Free Encyclopedia, 2 October 2021, 16:14 UTC, https://en.wikipedia.org/w/index.php?oldid=1047797454 [20211023].
6. -, “What are the kinematic formulas?”, Khan Academy, url https://www.khanacademy.org/science/physics/one-dimensional-motion/kinematic-formulas/a/what-are-the-kinematic-formulas [20211023].
7. -, “Problem-Solving for Basic Kinematics” in Boundless Physics, Lumen Learning, url https://courses.lumenlearning.com/boundless-physics/chapter/problem-solving-for-basic-kinematics/ [20211023].

position • velocity • velocity acceleration • position velocity {% comment %} • {% endcomment %}