speed

Istilah laju kerap digunakan untuk hanya menyatakan nilai skalar dari kecepatan [ 1 ], atau jarak yang ditempuh per satuan waktu yang sebetulnya lebih tepat sebagai laju rata [ 2 , 3 ]. Dan kadang tidak dijelaskan kecuali merupakan besaran skalar, akan tetapi langsung pada istilah laju sesaat dan laju rata-rata [ 4 ]. Di sini akan digunakan dengan arti sebagai besar dari kecepatan (atau kecepatan sesaat).

magnitude of velocity

Kecepatan $\vec{v}$ diperoleh dari turunan posisi $\vec{r}$ terhadap waktu $t$

\begin{equation}\label{eqn-v-dxdt} \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}, \end{equation}

dan laju adalah

\begin{equation}\label{eqn-s-magnitude-v} s = |\vec{v}|. \end{equation}

function

Dikarenakan bernilai sesaat Persamaan \eqref{eqn-v-dxdt} hanya dapat diperoleh bila terdapat fungsi $\vec{r} = \vec{r}(t)$. Bila hanya terdapat titik-titik data, mungkin dapat dipergunakan interpolasi untuk mendapatkan $\vec{r}(t)$ antar dua titik data bila diperbolehkan.

uniform linear motion

Sebagai ilustrasi untuk menghitung laju akan digunakan suatu GMB atau gerak melingkar beraturan [ 5 ], yang vektor posisinya dapat dituliskan dalam bentuk

\begin{equation}\label{eqn-uniform-circular-motion-r} \vec{r} = (x_C + R \cos \omega t) \ \hat{x} + (y_C + R \sin \omega t) \ \hat{y}, \end{equation}

dengan $(x_C, y_C)$ merupakan koordinat pusat lintasan berbentuk lingkaran. Dengan Persamaan \eqref{eqn-v-dxdt} maka akan diperoleh

\begin{equation}\label{eqn-uniform-circular-motion-v} \vec{v} = -\omega R \sin \omega t \ \hat{x} + \omega R \cos \omega t \ \hat{y}. \end{equation}

Lalu dengan Persamaan \eqref{eqn-s-magnitude-v} dapat diperoleh dari Persamaan \eqref{eqn-uniform-circular-motion-v}

\begin{equation}\label{eqn-uniform-circular-motion-s} s \equiv |\vec{v}| = \omega R, \end{equation}

yang merupakan laju $s$ dari GMB yang dideskripsikan oleh Persamaan \eqref{eqn-uniform-circular-motion-r}.

Gambar 1. Sebuah gerak melingkar beraturan dengan lajunya $s$ yang selalu menyinggung lintasan dan tegak lurus dengan jari-jari.

Besaran $v$ yang umumnya dituliskan [ 5 ] sebenarnya adalah laju $s$ karena merupakan besaran skalar. Ilustrasi diberikan pada Gambar 1 , yang memiliki parameter posisi pusat lintasan $x_C = 3$, $y_C = 3$, jari-jari $R = 2$, dan periode $T = 20$. Frekuensi angular $\omega = 2\pi/T$.

parabolic motion

Contoh gerak dengan fungsi waktu yang umum telah dikenal adalah gerak parabola (GP) dengan fungsi posisinya

\begin{equation}\label{eqn-parabolic-motion-r} \vec{r} = (x_0 + v_{0x} t) \ \hat{x} + (y_0 + v_{0y} t - \tfrac12 g t^2) \ \hat{y}, \end{equation}

yang akan memberikan fungsi kecepatannya

\begin{equation}\label{eqn-parabolic-motion-v} \vec{v} = v_{0x} \ \hat{x} + (v_{0y} - g t) \ \hat{y}, \end{equation}

dengan menggunakan Persamaan \eqref{eqn-v-dxdt}. Dari Persamaan \eqref{eqn-parabolic-motion-v} dapat diperoleh laju

\begin{equation}\label{eqn-parabolic-motion-s} s \equiv |\vec{v}| = \sqrt{v_{0x}^2 + (v_{0y} - g t)^2}, \end{equation}

dengan bantuan Persamaan \eqref{eqn-s-magnitude-v}.

Gambar 2. Sebuah gerak parabola dengan lajunya $s$ yang selalu menyinggung lintasan.

Parameter posisi awal $x_0 = 5$, $y_0 = 5$, kecepatan awal $v_{0x} = 30$, $v_{0y} = 40$, dan percepatan graviasi $g = 10$ adalah parameter-parameter yang diperlukan untuk membuah Gambar 2 . Saat $t = 0$ Persaamaan \eqref{eqn-parabolic-motion-s} akan memberikan besar kecepatan awal dan saat $t = 4$, pada posisi maksimum, laju hanya memiliki komponen mendatar. Dua titik ini telah memberikan konfirmasi bahwa rumusan yang diberikan dapat digunakan.

parametric function

Dengan menggunakan fungsi parametrik [ 6 ], misalnya $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$, dengan $t$ adalah parameternya, dapat dibuat

\begin{equation}\label{eqn-parametric-function-r} \vec{r} = x(t) \ \hat{x} + y(t) \ \hat{y} + z(t) \ \hat{z}, \end{equation}

yang akan memiliki fungsi kecepatan

\begin{equation}\label{eqn-parametric-function-v} \vec{v} = \frac{dx}{dt} \ \hat{x} + \frac{dy}{dt} \ \hat{y} + \frac{dz}{dt} \ \hat{z}, \end{equation}

sehingga dapat diperoleh

\begin{equation}\label{eqn-parametric-function-s} s = \sqrt{ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2 } \end{equation}

yang merupakan lajunya.

Tabel 1. Beberapa jenis gerak dan fungsi parametriknya.

Gerak | $x$ | $y$ | $z$ :-: | :-: | :-: GMB | $x_C + R \cos \omega t$ | $y_C + R \sin \omega t$ | - GP | $x_0 + v_{0x} t$ | $y_0 + v_{0y} t - \frac12 g t^2$ | - GH | $x_C + R \cos \omega t$ | $y_C + R \sin \omega t$ | $t$ LC | $A_x \sin (\omega_x t + \delta)$ | $A_y \sin \omega_y t$ |

Pada Tabel 1 terdapat gerak 3d yaitu GH atau gerak heliks [ 7 ], yang lintasannya mirip seperti lilitan pada pegas atau solenoida. Gerak 2d yang menarik adalah gerak yang lintasannya membentuk kurva Lissajous (LC) [ 8 ].

Gambar 3. Beberapa contoh kurva Lissajous.

Bentuk kurva Lissajous pada Gambar 3 ditentukan oleh rasio periode $T_x/T_y$ (lebih lazim dalam $\omega_x/\omega_y$) dan beda fasa $\delta$. Laju untuk lintasan benda berbentuk kurva Lissajous dapat diperoleh dengan menggunakan Persamaan \eqref{eqn-parametric-function-s}.

exer

1. Carilah rumusan laju untuk lintasan berbentuk pola Lissajous dengan persamaan $x$ dan $y$ diberikan pada Tabel 1 .

note

1. J. Willard Gibbs, Edwin Bidwell Wilson, “Vector Analysis”, University Press, John Wilson and Son, Cambridge, Dec 1901, p. 125, url https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015000962285&view=1up&seq=149 [20211019].
2. Andrew Zimmerman Jones, “What Speed Actually Means in Physics”, ThoughtCo, 12 Feb 2020, url https://www.thoughtco.com/x-2699009 [20211019].
3. Chris Deziel, “What is Speed?”, Sciencing, 13 Dec 2020, url <> [20211019].
4. William Moebs, Samuel J. Ling, Jeff Sanny, “Instantaneous Velocity and Speed” in University Physics Volume 1, OpenStax, Texas, 19 Sep 2016, url https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/3-2-instantaneous-velocity-and-speed [20211019].
5. Paul Peter Urone, Roger Hinrichs, “Uniform Circular Motion” in Physics, OpenStax, Texas, 26 Mar 2020, url https://openstax.org/books/physics/pages/6-2-uniform-circular-motion [20211019].
6. “Parametric functions, one parameter”, Khan Academy, url https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-about-multivariable-function/ways-to-represent-multivariable-functions/a/parametric-functions [20211019].
7. “Motion of a Charged Particle in a Magnetic Field” in Boundless Physics, Lumen Learning, url https://courses.lumenlearning.com/boundless-physics/chapter/motion-of-a-charged-particle-in-a-magnetic-field/ [20211019].
8. Eric W. Weisstein, “Lissajous Curve” from MathWorld–A Wolfram Web Resource, url https://mathworld.wolfram.com/LissajousCurve.html [20211019].

position • velocity • displacement 2d • displacement 1d • average velocity • average speed {% comment %} • {% endcomment %}