average speed
Laju rata-rata adalah jarak yang ditempuh dibagi dengan waktu selama gerak itu terjadi [ 1 , 2 ], yang kadang disebut saja sebagai laju, sebagai suatu definisi yang belum final [ 3 ], atau penyederhanaan untuk kalangan tertentu [ 4 ].
formula
Untuk menghitung laju rata $s_{\rm avg}$ dari waktu inisial $t_i$ sampai waktu final $t_f$, untuk kasus 1d, dapat diperoleh dari fungsi kecepatan $v$
\begin{equation}\label{eqn-1} s_{\rm avg} = \frac{1}{t_f - t_i} \int_{t_i}^{t_f} \left| v \right| dt \equiv \bar{s} \end{equation}
ataupun fungsi posisi $x$
\begin{equation}\label{eqn-2a} s_{\rm avg} = \frac{1}{t_f - t_i} \sum_{n = 1}^N \left| x_{n+1} - x_n \right| \equiv \bar{s}, \end{equation}
dengan
\begin{equation}\label{eqn-2b} x_n = x(t_i) + \left[ \frac{x(t_f) - x(t_i)}{N} \right] (n - 1), \end{equation}
di mana yang lazim adalah dengan menggunakan Persaamaan \eqref{eqn-1} ketimbang Persamaan \eqref{eqn-2a}. Penggunaan Persamaan \eqref{eqn-1} pun tidak dilakukan secara eksplisit melainkan melalui menghitung luas di bahwa kurva pada grafik $v-t$. Atau secara sederhana
\begin{equation}\label{eqn-1b} \bar{s} \equiv s_{\rm avg} = \frac{d_{if}}{t_f - t_i} \end{equation}
bila jarak $d_{if}$ yang ditempuh antar waktu $t_i$ dan $t_f$ telah diketahui. Persamaan \eqref{eqn-1b} berlaku umum untuk kasua 1d, 2d, dan 3d.
1d motion
Sebuah kotak bergerak dari posisi $x_1$ sampai posisi $x_5$ mulai dari waktu $t_1$ sampai waktu $t_5$ sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 1 berikut ini.
Gambar 1. Sebuah kotak bergerak dari satu titik ke titik lainnya sepanjang sumbu $x$, dengan kecepatan benda bernilai konstan saat bergerak antar dua titik berurutan.
Ilustrasi gerak benda pada Gambar 1 diperjelas dengan informasi posisi benda dan waktu pada setiap titik pada Tabel 1 serta kecepatan antar dua buah titik pada Tabel 2 , yang secara eksplisit dituliskan dalam Persamaan \eqref{eqn-3} dan Persamaan \eqref{eqn-4} untuk posisi $x$ dan kecepatan $v$, berturut-turut. Grafik untuk keduanya pun diberikan dalam Gambar 2 dan 3 .
Selanjutnya dengan menggunakan tabel, di mana baris menggambarkan posisi inisial (awal) dan kolom posisi final (akhir) dapat dicari jarak $d_{if}$ dan selang waktu $\Delta t_{if}$.
Tabel 3. Jarak, selang waktu, dan laju rata-rata benda.
| $d_{if}$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $1$ | $2$ | $8$ | $9$ | $17$ | |
| $2$ | $6$ | $7$ | $15$ | ||
| $3$ | $1$ | $9$ | |||
| $4$ | $8$ | ||||
| $5$ |
| $\Delta t_{if}$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $1$ | $2$ | $5$ | $6$ | $10$ | |
| $2$ | $3$ | $4$ | $8$ | ||
| $3$ | $1$ | $5$ | |||
| $4$ | $4$ | ||||
| $5$ |
| $\bar{s}_{if}$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $1$ | $1$ | $\frac85$ | $\frac32$ | $1.7$ | |
| $2$ | $2$ | $1\frac34$ | $1\frac78$ | ||
| $3$ | $1$ | $1\frac45$ | |||
| $4$ | $2$ | ||||
| $5$ |
Tabel 3 bagian bawah diperoleh dengan menggunakan informasi dari tabel bagian atas dan tengah yang dimasukkan ke Persamaan \eqref{eqn-1b}. Perhatikan bahwa nilai laju rata-rata selalu berharga positif. Dan untuk semakin banyak jumlah titik yang diperhitungkan (dilewati benda) nilai jarak yang diperoleh akan semakin besar, misalnya $d_{14} > d_{13}$ karena yang pertama melewati empat titik (1, 2, 3, 4) dan yang kedua hanya tiga titik (1, 2, 3).
Dengan menggunakan Persamaan \eqref{eqn-1} yang sebenarnya adalah menghitung luas di bawah kurva dengan memutlakkan semua nilai luas yang diperoleh.
 (a) |  (b)  (a) |  (b)
Gambar 4. Luas di bawah kurva untuk waktu: (a) $0 - 6 \ \rm s$, (b) $0 - 7 \ \rm s$, (c) $0 - 8 \ \rm s$, dan (d) $0 - 10 \ \rm s$.
Dengan menggunakan informasi dari Gambar 4 dapat dihitung laju rata-rata seperti dalam 4 berikut. Ingat bahwa semua nilai luas di bawah kurva digunakan nilai mutlaknya (bila bernilai negatif, dibuat menjadi positif).
Tabel 4. Selang waktu, jarak, dan laju rata-rata.
| $\Delta t$ | $d$ | $s_{\rm avg}$ |
|---|---|---|
| $6 - 0 = 6$ | $|+2| + |+6| + |-1| = 9$ | $\frac32$ |
| $7 - 0 = 7$ | $|+2| + |+6| + |-1| + |-2| = 11$ | $1\frac47$ |
| $8 - 0 = 8$ | $|+2| + |+6| + |-1| + |-4| = 13$ | $1\frac58$ |
| $10 - 0 = 10$ | $|+2| + |+6| + |-1| + |-8| = 17$ | 1.7 |
Nilai pada baris pertama dan terakhir pada Tabel 4 dapat dikonfirmasi dengan nilai pada Tabel 3 .
2d motion
Gambar 5 merupakan salah satu gerak 2d yang akan dijadikan sebagai contoh untuk menghitung laju rata-rata.
Gambar 5. Gerak 2d dengan selang waktu antara dua titik berurutan adalah $1 \ \rm s$ dan grid $1 \ {\rm m} \times 1 \ {\rm m}$.
Dengan memperhatikan Gambar 5 dapat dihitung jarak antar dua titik berurutan sebagai seperti dalam Tabel 5 .
Tabel 5. Jarak antar dua titik berurutan dalam Gambar 5 .
$t_i$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ $t_f$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ $d_{t_i - t_f}$ | $\frac56 \pi$ | $\frac56 \pi$ | $\frac56 \pi$ | $\frac52$ | $\frac52$ | $3$ | $3$ | $4$ |$5$ | $10$
Dengan demikian bila ingin dicari, misalnya antara waktu inisial (awal) $t = 2$ dan waktu final (akhir) $t = 6$ maka jarak yang ditempuh adalah
$$ \begin{array}{rcl} d_{2-6} & = & d_{2-3} + d_{3-4} + d_{4-5} + d_{5-6} \newline & = & \frac56 \pi + \frac52 + \frac52 + 3 \newline & = & \frac56 \pi + 8 \end{array} $$
dan dapat pula dicari untuk antar dua titik yang lainnya. Masih untuk waktu antara $t = 2$ dan $t = 6$ ini $\Delta t = 6 - 2 = 4$ sehingga
$$ \begin{array}{rcl} \bar{v}{2-6} & = & \displaystyle \frac{d{2-6}}{\Delta t} \newline & = & \displaystyle \frac{\frac56 \pi + 8}{4} \newline & = & \frac{5}{24} \pi + 2 \end{array} $$
adalah laju rata-ratanya.
Tabel 6 Jarak antar dua titik mulai dari $t = 0$ sampai $t = 10$.
$d$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10
0 | | $\frac56 \pi$ | $\frac53 \pi$ | $\frac52 \pi$ | $\frac52 \pi + \frac52$ | $\frac52 \pi + 5$ | $\frac52 \pi + 8$ | $\frac52 \pi + 11$ | $\frac52 \pi + 15$ | $\frac52 \pi + 20$ | $\frac52 \pi + 30$
1 | | | $\frac56 \pi$ | $\frac53 \pi$ | $\frac53 \pi + \frac52$ | $\frac53 \pi + 5$ | $\frac53 \pi + 8$ | $\frac53 \pi + 11$ | $\frac53 \pi + 15$ | $\frac53 \pi + 20$ | $\frac53 \pi + 30$
2 | | | | $\frac56 \pi$ | $\frac56 \pi + \frac52$ | $\frac56 \pi + 5$ | $\frac56 \pi + 8$ | $\frac56 \pi + 11$ | $\frac56 \pi + 15$ | $\frac56 \pi + 20$ | $\frac56 \pi + 30$
3 | | | | | $\frac52$ | $5$ | $8$ | $11$ | $15$ | $20$ | $30$
4 | | | | | | $2\frac12$ | $5\frac12$ | $8\frac12$ | $12\frac12$ | $17\frac12$ | $27\frac12$
5 | | | | | | | $3$ | $6$ | $10$ | $15$ | $25$
6 | | | | | | | | $3$ | $7$ | $12$ | $22$
7 | | | | | | | | | $4$ | $9$ | $19$
8 | | | | | | | | | | $5$ | $15$
9 | | | | | | | | | | | $10$
10 | | | | | | | | | | | |
Dengan $\Delta t = t_f - t_i$ dan jarak antar dua titik terlah diberikan oleh Tabel 6 maka laju rata-rata antar dua titik mulai dari $t = 0$ sampai $t = 10$ dapat dihitung.
3d motion
Salah satu masalah dalam membahas gerak 3d adalah memberikan ilustrasinya. Gambar 6 berikut merupakan salah satu contoh gerak yang cukup sederhana dengan antar dua titik berurutan benda bergerak dengan kecepatan tetap. Secara umum bisa saja benda bergerak menguti suatu fungsi parametric $x(t)$, $y(t)$, dan $z(t)$.
Gambar 6. Gerak 3d dengan kecepatan konstan antar dua waktu berurutan dan grid $1 \ {\rm m} \times 1 \ {\rm m} \times 1 \ {\rm m}$.
Komponen $x$, $y$, dan $z$ untuk menghitung jarak antar dua waktu berurutan diberikan pada Gambar 6 agar memudahkan, yang sebenarnya dapat dibaca pula dari grafik dengan menggunakan garis bantu (putus-putus) sewarna dengan vektornya. Jarak antara $t = 0$ dan $t = 3$ dapat dihitung melalui
\begin{equation}\label{eqn-5} d_{0-3} = \sqrt{x_{0-3}^2 + y_{0-3}^2 + y_{0-3}^2} \end{equation}
bila lintasannya berupa garis lurus, dengan
\begin{equation}\label{eqn-5b} \begin{array}{rcl} x_{0-3} & = & x(3) - x(0), \newline y_{0-3} & = & y(3) - y(0), \newline z_{0-3} & = & z(3) - z(0), \end{array} \end{equation}
di mana $x(3)$ berarti nilai $x$ saat $t = 3$.
Tabel 7. Jarak antar dua titik berurutan suatu gerak 3d pada Gambar 6 dan laju rata-ratanya.
| $t_i$ | $t_f$ | $x_{i-f}$ | $y_{i-f}$ | $z_{i-f}$ | $d$ | $\Delta t$ | $s_{\rm avg}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 4 | 8 | 1 | 9 | 3 | 3 |
| 3 | 10 | 3 | 6 | 2 | 7 | 7 | 1 |
| 10 | 13 | 4 | 2 | 4 | 6 | 3 | 2 |
| 13 | 15 | 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1.5 |
Antara $t = 0$ dan $t = 10$ dapat diperoleh
\begin{array}{rcl} d_{0-10} & = & d_{0-3} + d_{3-10} \newline & = & 9 + 7 \newline & = & 16 \end{array}
dan dengan $\Delta t = 10 - 0 = 10$ akan diperoleh $s_{\rm avg} = 16 / 10 = 1.6$. Laju rata-rata antar dua waktu yang lain dapat diperoleh dengan cara yang sama. Selanjutnya, hanya sebagai motivasi, contoh fungsi yang lebih rumit diberikan pada Gambar 7 berikut ini.
Gambar 7. Gerak 3d mengikuti suatu fungsi parametric dengan grid $0.5 \times 0.5 \times 0.5$.
Grafik pada Gambar 7 dapat diperoleh melalui fungsi parametric berikut
$$ \begin{array}{rcl} x & = & 0.1 t \cos 2t, \newline y & = & 0.1 t \sin 2t, \newline z & = & 0.15 t, \end{array} $$
dengan $0 \le t \le 20$ dalam 200 langkah yang dilukis secara daring menggunakan [ 5 ]. Bagaimana menghitung panjang lintasan atau jarak dan kemudian laju untuk gerak 3d seperti pada Gambar 7 tidak akan dibahas di sini. Gambar tersebut diberikan hanya untuk ilustrasi bahwa ada bentuk lintasan yang lebih rumit yang tidak dapat dihitung secara sederhana menggunakan Persamaan \eqref{eqn-1} ataupun Persamaan \eqref{eqn-2a}.
exer
- Hitunglah laju rata-rata antara $t = 8$ dan $t = 10$ dari Tabel 6 .
- Dengan menggunakan Tabel 6 carial nilai $\bar{v}_{5-10}$.
- Carilah $\bar{s}_{3-15}$ dari Gambar 6 .
note
- Paul Peter Urone, Roger Hinrichs, “Time, Velocity, and Speed”, in College Physics, OpenStax, Houston, Texas, 21 Jun 2012, url https://openstax.org/books/college-physics/pages/2-3-time-velocity-and-speed [20211017].
- Wikipedia contributors, “Speed”, Wikipedia, The Free Encyclopedia, 18 August 2021, 08:28 UTC, https://en.wikipedia.org/w/index.php?oldid=1039365254 [20211017].
- Glenn Elert, “Speed and Velocity”, in the Physics Hypertextbook, 2021, url https://physics.info/velocity/ [20211017].
- Ducksters, “Physics for Kids: Speed and Velocity”, Ducksters, Technological Solutions, Inc. (TSI), url https://www.ducksters.com/science/physics/speed_and_velocity.php [20211017].
- Paul Seeburger, “Space Curves: Helix”, CalcPlot3D, Monroe Community College, 18 Aug 2020, url https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/index.html#SpaceCurves [20211019].
position • velocity • displacement 2d • displacement 1d • average velocity {% comment %} • {% endcomment %}