average velocity
Kecepatan rata-rata dapat didefinisikan sebagai perpindahan dibagi selang waktu [ 1 ]. Sebagaimana kecepatan satu dari kecepatan rata-rata adalah $\rm m/s$ dan kecepatan rata-rata merupakan besaran vektor.
formula
Kecepatan rata-rata diperoleh melalui
\begin{equation}\label{eqn-1} \bar{v} = \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i} \equiv v_{\rm avg}, \end{equation}
dengan $x_i$ dan $x_f$ adalah posisi inisial (awal) dan final (akhir), demikian juga dengan $t_i$ dan $t_f$ yang merupakan waktu inisial dan final. Terkadang Persamaan \eqref{eqn-1} dituliskan pula sebagai
\begin{equation}\label{eqn-1a} \bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}, \end{equation}
dengan $\Delta x = x_f - x_i$ dan $\Delta t = t_f - t_i$. Lambang $v_{\rm avg}$ digunakan bila kecepatan harus dinyatakan dengan lambang vektor (panah di atasnya) $\vec{v}$, sehingga tidak perlu ada garis mendatar di atas panah seperti $\bar{\vec{v}}$. Hal ini dikuatirkan kurang jelas terlihat.
misconception
Terdapat konsep yang keliru mengenai kecepatan rata-rata sebagaimana disajikan dalam bentuk suatu kalkulator [ 2 ], yang menghitung
\begin{equation}\label{eqn-2} \bar{v} = \frac12 (v_i + v_f), \end{equation}
di mana hal ini hanya berlaku untuk gerak lurus dan percepatan konstan [ 3 ]. Indeks $i$ berarti inisial (awal) dan $f$ berarti final (akhir).
Dalam kinematika untuk gerak lurus dengan percepatan $a$ tetap terdapat hubungan-hubungan
\begin{equation}\label{eqn-3a} v_f = v_i + a(t_f - t_i), \end{equation}
\begin{equation}\label{eqn-3b} x_f = x_i + v_i (t_f - t_i) + \frac12 a(t_f - t_i)^2, \end{equation}
\begin{equation}\label{eqn-3c} v_f^2 = v_i^2 + 2a(x_f - x_i). \end{equation}
Dengan menggunakan Persamaan \eqref{eqn-3a} - \eqref{eqn-3c} dapat dilakukan langkah-langkah berikut
$$ \require{cancel} \begin{array}{rcl} v_f^2 & = & v_i^2 + 2a(x_f - x_i) \newline v_f^2 - v_i^2 & = & 2a(x_f - x_i) \newline (v_f - v_i)(v_f + v_i) & = & 2a(x_f - x_i) \newline (v_f - v_i)(v_f + v_i) & = & \displaystyle 2 \ \left( \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} \right) \ (x_f - x_i) \newline \cancel{(v_f - v_i)}(v_f + v_i) & = & \displaystyle 2 \ \frac{\cancel{v_f - v_i}}{t_f - t_i} \ (x_f - x_i) \newline (v_f + v_i) & = & \displaystyle \frac{2}{t_f - t_i} \ (x_f - x_i) \newline \displaystyle \frac12 (v_f + v_i) & = & \displaystyle \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i} \newline \displaystyle \frac12 (v_f + v_i) & = & \bar{v}. \end{array} $$
Pada baris pertama digunakan Persamaan \eqref{eqn-3c}, setelah itu digunakan hubungan $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$, dan selanjutnya pada baris keempat disubstitusikan Persamaan \eqref{eqn-3a}. Pada baris terakhir digunakan definisi dari kecepatan rata-rata dari Persamaan \eqref{eqn-1} sehingga dapat diperoleh Persamaan \eqref{eqn-2} yang berlaku hanya untuk gerak lurus dengan percepatan $a$ bernilai konstan.
2d motion
Sebagai ilustrasi diambil gerak 2d yang akan digunakan untuk menghitung perpindahan pada beberapa selang waktu sebagai contohnya. Gambar 1 berikut menggambarkan bentuk lintasan yang dibahas.
Gambar 1. Suatu lintasan terdiri dari lima titik dengan waktu pada tiap-tiap titik adalah $t_1 \dots t_6$ dan grid berukuran $1 \ {\rm m} \times 1 \ {\rm m}$.
Informasi waktu pada masing-masing titik dalam Gambar 1 diberikan pada Tabel 1 di bawah ini.
Tabel 1. Waktu pada titik-titik dalam Gambar 1 .
$n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 :-: | :-: | :-: | :-: | :-: $t_n \ ({\rm s}) $ | 2 | 8 | 15 | 22 | 27
Perpindahan dari titik 1 ke titik 2 ($\Delta \vec{r} _{12}$), dari titik 1 ke titik 3 ($\Delta \vec{r} _{13}$), dari titik 1 ke titik 4 ($\Delta \vec{r} _{14}$), dan dari titik 1 ke titik 5 ($\Delta \vec{r} _{15}$) disajikan dalam Gambar 2 berikut ini, yang nanti nilai-nilainya akan digunakan untuk menghitung kecepatan rata-rata.
 |   | 
Gambar 2. Perpindahan dari titik 1 ke titik 2, 3, 4, dan 5.
Dari Gambar 2 dapat jelas diperoleh perpindahan $\Delta \vec{r} _{if}$ berikut, yang juga dapat dituliskan dengan notasi besar vektor $|\Delta \vec{r} _{if} |$ dan arahnya $\hat{n} _{if}$.
Tabel 2. Perpindahan dari titik 1 ke titik 2, 3, 4, dan 5.
| $i$ | $f$ | $\Delta \vec{r}_{if}$ | $|\Delta \vec{r}_{if} | \ \hat{n} _{if}$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | $12 \hat{x}$ | $12 \hat{x}$ |
| 1 | 3 | $12 \hat{x} - 5 \hat{y}$ | $13 \ \left(\frac{12}{13} \hat{x} - \frac{5}{13} \hat{y} \right)$ |
| 1 | 4 | $8 \hat{x} - 6 \hat{y}$ | $10 \ \left(\frac{4}{5} \hat{x} - \frac{3}{5} \hat{y} \right)$ |
| 1 | 5 | $4 \hat{x} - 3 \hat{y}$ | $5 \ \left(\frac{4}{5} \hat{x} - \frac{3}{5} \hat{y} \right)$ |
Dengan menggunakan informasi dari Tabel 1 dan 2 serta Persaaman \eqref{eqn-1} dapat diperoleh kecepatan rata-rata antara waktu 1 ke 2, 1 ke 3, 1 ke 4, dan 1 ke 5.
Tabel 3. Kecepatan rata-rata $\vec{v}_{\rm avg}$ antara titik 1 ke titik 2, 3, 4, dan 5.
| $i$ | $f$ | $|\Delta \vec{r}_{if} | \ \hat{n} _{if}$ | $\Delta t$ | $\vec{v} _{\rm avg}$ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | $12 \hat{x}$ | 6 | $2 \hat{x}$ |
| 1 | 3 | $13 \ \left(\frac{12}{13} \hat{x} - \frac{5}{13} \hat{y} \right)$ | 13 | $\left(\frac{12}{13} \hat{x} - \frac{5}{13} \hat{y} \right)$ |
| 1 | 4 | $10 \ \left(\frac{4}{5} \hat{x} - \frac{3}{5} \hat{y} \right)$ | 20 | $0.5 \ \left(\frac{4}{5} \hat{x} - \frac{3}{5} \hat{y} \right)$ |
| 1 | 5 | $5 \ \left(\frac{4}{5} \hat{x} - \frac{3}{5} \hat{y} \right)$ | 25 | $0.2 \ \left(\frac{4}{5} \hat{x} - \frac{3}{5} \hat{y} \right)$ |
Dengan memikian telah diperolah kecepatan rata-rata antara waktu $t_1$ dan $t_2$, $t_1$ dan $t_3$, $t_1$ dan $t_4$, dan $t_1$ dan $t_5$, sebagaimana diberikan dalam Tabel 3 .
table
Selain dengan menggunakan grafik seperti pada Gambar 1 , data dalam posisi dan waktu bentuk tabel dapat pula digunakan untuk menghitung kecepatan rata-rata. Dengan menggunakan Tabel 1 dan 2 dapat diperoleh.
Tabel 4. Posisi dan waktu titik 1, 2, 3, 4, dan 5 dari Gambar 1 .
| $n$ | $x$ | $y$ | $t$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 7 | 2 |
| 2 | 12 | 7 | 8 |
| 3 | 12 | 2 | 15 |
| 4 | 8 | 1 | 22 |
| 5 | 4 | 4 | 27 |
Dengan Persamaan \eqref{eqn-1} dan data dalam Tabel 4 dapat diperoleh kecepatan rata-rata antara waktu $t_i$ dan $t_f$.
function
Fungsi waktu $t$ dari posisi $x$ merupakan alternatif sumber informasi untuk menghitung kecepatan rata-rata, yang dalam hal ini Persamaan \eqref{eqn-1} akan menjadi
\begin{equation}\label{eqn-4} \bar{v}_{if} = \frac{x(t_f) - x(t_i)}{t_f - t_i}, \end{equation}
dengan telah diketahui $x(t)$ untuk setiap $t$ dalam rentang waktu yang ingin dicari kecepatan rata-ratanya. Sebagai ilustrasi suatu fungsi posisi memiliki bentuk
\begin{equation}\label{eqn-5a} x = R \cos \omega t \end{equation}
dan
\begin{equation}\label{eqn-5b} y = R \sin 2 \omega t \end{equation}
dengan $T = 0.25 \ {\rm s}$, $R = 5 \ {\rm m}$ dan $\Delta t = 0.05T$, serta $\omega = 2 \pi / T$.
:-: | :-:  (a) |  (b)  (c) |  (d)
Gambar 3. (a) Lintasan berbentuk pola Lissajous, (b) $\Delta \vec{r} _{12}$, (c) $\Delta \vec{r} _{15}$, dan (b) $\Delta \vec{r} _{1,17}$,
Pola Lissajous [ 3 ] pada Gambar 3 dibentuk dengan 20 titik yang kemudian dihaluskan kurvanya. Perpindahan dan kecepatan rata-ratanya adalah sebagai berikut ini
i f Δx Δy Δt vavgx vavgy
1 2 -2.447E-1 2.939E+0 1.250E-2 -1.958E+1 2.351E+2
1 5 -3.455E+0 2.939E+0 5.000E-2 -6.910E+1 5.878E+1
1 17 -3.455E+0 -2.939E+0 2.000E-1 -1.727E+1 -1.469E+1dengan sebagai contoh
$$ \vec{v}_{\rm avg} = -6.910 \times 10^1 \ \hat{x} + 5.878 \times 10^1 \ \hat{y} $$
adalah untuk antara waktu $t_1$ dan $t_5$. Untuk rentang waktu yang lain dapat dengan mudah dicari dari Persamaan \eqref{eqn-5a} dan \eqref{eqn-5b} serta nilai-nilai parameter yang diberikan.
1d motion
Gerak 1d berlaku sama dengan gerak 2d yang tepat menggunakan Persamaan \eqref{eqn-1} atau \eqref{eqn-1a}. Hal yang perlu diperhatikan adalah $x$ di sini (ataupun $y$ atau $z$) adalah vektor sehingga dalam menghitung perpindahan, sebelum dibagi waktu untuk mendapatkan kecepatan rata-rata, dapat bernilai positif maupun negatif.
Sebagai contoh sebuah balok bergerak di atas bidang mendatar licin dari satu titik ke titik lainnya yang terletak di sepanjang sumbu $x$. Saat bergerak antar titik kecepatan benda bernilai konstan. Terdapat empat titik. Waktu dan posisi benda pada keempat titik tersebut diberikan sebagai berikut.
Tabel 5. Waktu $t$ dan posisi balok $x$ yang bergerak sepanjang sumbu $x$, dengan $t$ dalam $\rm s$ dan $x$ dalam $\rm m$.
$n$ | 1 | 2 | 3 | 4 :-: | :-: | :-: | :-: $t_n$ | 0 | 4 | 14 | 16 $x_n$ | 2 | 6 | -4 | 0
Posisi balok selain dinyatakan dengan Tabel 5 dapat pula dinyatakan dengan persamaan
\begin{equation}\label{eqn-6} x = \left\{ \begin{array}{rc} t + 2, & 0 \le t < 4, \newline -t + 10, & 4 \le t < 14, \newline 2t - 32, & 14 \le t < 16, \end{array} \right. \end{equation}
yang telah menggunakan informasi bahwa antar dua titik balok bergerak dengan kecepatan konstan.
Gambar 4. Fungsi posisi suatu balok yang bergerak di sepanjang sumbu $x$.
Dengan menggunakan Persamaan \eqref{eqn-6} dapat digambarkan kurva dari $x$ sebagaimana disajikan dalam Gambar 4 sebelumnya.
Sedangkan untuk fungsi kecepatannya, dengan informasi kecepatan antar titik adalah konstan, dapat diperoleh
\begin{equation}\label{eqn-7} v = \left\{ \begin{array}{rc} 1, & 0 \le t < 4, \newline -1, & 4 \le t < 14, \newline 2, & 14 \le t < 16, \end{array} \right. \end{equation}
dengan grafiknya diberikan pada Gambar 5 berikut ini.
Gambar 5. Fungsi kecepatan suatu balok yang bergerak di sepanjang sumbu $x$.
Kecepatannya dapat pula dinyatakan dengan tabel berikut.
Tabel 6 Kecepatan balok bergerak sepanjang sumbu $x$.
| $t$ | $v$ |
|---|---|
| $0 \le t < 4$ | $1$ |
| $4 \le t < 14$ | $-1$ |
| $14 \le t < 16$ | $2$ |
Persamaan \eqref{eqn-7}, Gambar 5 , Tabel 6 menggambarkan data yang sama, yaitu fugnsi kecepatan balok, akan tetapi dengan cara yang berbeda. Ketiganya memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing. Untuk Persamaan \eqref{eqn-6}, Gambar 4 , Tabel 5 ketiganya tidak persis menggambarkan hal yang sama, yaitu fungsi posisi balok, karena pada tabel hanya posisi titik-titik tertentu yang diberikan sedangkapan pada grafik dan persamaan, semua posisi diberikan. Selain itu terdapat pula informasi tambahan bahwa antar dua titik benda bergerak dengan kecepatan tetap.
vavg for 2 < t < 12
Dengan menggunakan Gambar 4 dan Gambar 5 dapat dicari perpindahan antara $2 < t < 12$ dan kemudian dengan $\Delta t = 12 - 2 = 10$ dapat dicari kecepatan rata-ratanya.
 | 
Gambar 6. Perpindahan $\Delta x_{2,12} = -6$ dapat diperoleh dari grafik $x-t$ (kiri) ataupun $v-t$ (kanan).
Gambar 6 memberikan ilustrasi bagaimana memperoleh perpindahan $\Delta x_{2,12}$ yang bernilai $-6$, di mana pada grafik $x-t$ diperoleh dengan menarik garis vertikal dari posisi awal ke posisi akhir dan pada grafik $v-t$ menghitung luas di bawah kurva yang dalam hal ini adalah $(+2) + (-8) = -6$. Kedua cara memberikan hasil yang sama. Selanjutnya dikarenakan $\Delta t = 10$ maka dapat diperolah bahwa $\bar{x}_{2,12} = -6 / 10 = -0.6$.
vavg for 4 < t < 16
Kembali menggunakan Gambar 4 dan Gambar 5 dapat dicari perpindahan antara $4 < t < 16$ sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 7 .
 | 
Gambar 7. Perpindahan $\Delta x_{4,16} = -6$ dapat diperoleh dari grafik $x-t$ (kiri) ataupun $v-t$ (kanan).
Dari Gambar 6 bahwa untuk grafik $v-t$ jumlah luas di bawah kurva adalah $(-10) + (+4) = -6$, sedangkan untuk grafik $x-t$ sudah cukup jelas bagaimana perpindahan $\Delta x_{4,16}$ dapat diperoleh. Selanjutnya dengan $\Delta t = 16 - 4 = 12$ dapat diperoleh kecepatan rata-ratanya adalah $\bar{x}_{4,16} = -6 / 12 = -0.5$.
exer
- Tentukanlah kecepatan rata-rata antara $t_4$ dan $t_5$ pada Gambar 1 .
- Dengan melihat bentuk fungsi posisi $\vec{r}(t)$ pada Gambar 3 , carilah vektor perpindahan yang akan sama dengan $\Delta\vec{r}_{15}$.
- Gunakan Gambar 4 dan Gambar 5 untuk menghitung $\Delta x_{28}$.
- Hitunglah $\Delta x_{10,16}$ dari Gambar 4 dan Gambar 5 .
note
- Carl. R. Nave, “Average Velocity, General”, HyperPhysics, Georgia State University, USA, 2017, url http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/vel2.html#c3 [20211015].
- Edward Furey, “Average Velocity Calculator”, CalculatorSoup, Online Calculators, 2021, url https://www.calculatorsoup.com/calculators/physics/velocity_avg.php [20211015].
- Carl. R. Nave, “Average Velocity, Straight Line”, HyperPhysics, Georgia State University, USA, 2017, url http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/vel2.html#c2 [20211015].
- Wikipedia contributors, “Lissajous curve”, Wikipedia, The Free Encyclopedia, 10 June 2021, 12:10 UTC, <https://en.wikipedia.org/w/index.php?oldid=1027858127 [20211017].
position • velocity • displacement 2d • displacement 1d {% comment %} • {% endcomment %}