initial condition xva

Dalam menerapkan hukum II Newton, yang umumnya merupakan persamaan diferensial, perlu dinyatakan syarat awal berupa kecepatan awal dan posisi awal, di mana permasalahan seperti ini termasuk suatu permasalan nilai awal [ 1 ].

not unique

Pemilihan syarat awal atau IC (initial condition) tidak unik karena, bila sebelumnya telah diketahui fungsinya hanya akan menentukan konstant integrasi, misalnya

$$ \int 2x \ dx = x^2 + C, $$

di mana IC akan menentukan nilai C ini. Misalkan terdapat fungsi posisi partikel setiap saat

$$ x = t^2 - 4, $$

yang akan memberikan bahwa $x(0) = -4$, $x(1) = -3$, dan $x(2) = 0$. Ketiga nilai ini dapat digunakan sebagi syarat awal saat ingin memperoleh solusi fungsi posisi $x$ dari fungsi kecepatan

$$ v = 2t. $$

Ketiga nilai tersebut akan digunakan dalam ketiga kasus di bawah ini.

case 1

Dalam kasus ini IC yang diberikan adalah $x(0) = -4$ dengan fungsi kecepatannya adalah $v = 2t$. Dengan demikian

$$ \begin{array}{rcl} x - x(0) & = & \displaystyle \int_0^t 2t \ dt \newline & = & \displaystyle \left[ t^2 \right]_0^t \newline & = & (t^2) - (0^2) \newline x - x(0) & = & t^2 \newline x - (-4) & = & t^2 \newline x & = & t^2 - 4 \end{array} $$

dapat diperoleh solusinya.

case 2

Dalam kasus ini IC yang diberikan adalah $x(1) = -3$ dengan fungsi kecepatannya adalah $v = 2t$. Dengan demikian

$$ \begin{array}{rcl} x - x(1) & = & \displaystyle \int_1^t 2t \ dt \newline & = & \displaystyle \left[ t^2 \right]_1^t \newline & = & (t^2) - (1^2) \newline x - x(1) & = & t^2 - 1 \newline x - (-3) & = & t^2 - 1 \newline x & = & t^2 - 4 \end{array} $$

dapat diperoleh solusinya.

case 3

Dalam kasus ini IC yang diberikan adalah $x(2) = 0$ dengan fungsi kecepatannya adalah $v = 2t$. Dengan demikian

$$ \begin{array}{rcl} x - x(2) & = & \displaystyle \int_2^t 2t \ dt \newline & = & \displaystyle \left[ t^2 \right]_2^t \newline & = & (t^2) - (2^2) \newline x - x(2) & = & t^2 - 4 \newline x - 0 & = & t^2 - 4 \newline x & = & t^2 - 4 \end{array} $$

dapat diperoleh solusinya.

Perhatikan bahwa asalkan IC yang diberikan tepat menggambarkan sistemnya, tetap akah diperoleh solusi yang benar. Pada contoh di atas IC ditentukan dari fungsi posisi $x$ yang telah diketahui lebih dulu sehingga hanya untuk memberikan gambaran.

a → v → x

Bila terdapat fungsi percepatan $a$ dan ingin ddiperoleh fungsi kecepatan $v$ dan kemudian fungsi posisi $x$ maka diperlukan dua IC yaitu nilai-nilai $v_0$ dan $x_0$ saat $t_0$. Sebagai contoh, misalkan terdapat

$$ a = -10 $$

dan $t_0 = 1$, $v_0 = v(t_0) = 2$, $x_0 = x(t_0) = 3$. Langkah pertama adalah memperoleh $v$ dari integrasi $a$ terhadap waktu $t$ dan dilanjutkan dengan mencari $x$ dari integral $v$ terhadap waktu $t$. Untuk langkah pertama

$$ \begin{array}{rcl} v - v(t_0) & = & \displaystyle \int_{t_0}^t a \ dt \newline v - v(1) & = & \displaystyle \int_1^t (-10) \ dt \newline & = & \displaystyle (-10) \left[ t \right]_1^t \newline & = & \displaystyle (-10) \left[ (t) - (1) \right] \newline & = & -10t + 10 \newline v - 2 & = & -10t + 10 \newline v & = & -10t + 12 \end{array} $$

akan diperoleh fungsi kecepatan. Selanjutnya adalah langkah kedua dengan memanfaatkan fungsi kecepatan yang baru saja diperoleh, yang akan memberikan

$$ \begin{array}{rcl} x - x(t_0) & = & \displaystyle \int_{t_0}^t v \ dt \newline x - x(1) & = & \displaystyle \int_1^t (-10t + 12) \ dt \newline & = & \displaystyle \left[ -5t^2 + 12t \right]_1^t \newline & = & (-5t^2 + 12t) - (-5 \cdot 1^2 + 12 \cdot 1) \newline & = & (-5t^2 + 12t) - (-5 + 12) \newline & = & -5t^2 + 12t - 7 \newline x - 3 & = & -5t^2 + 12t - 7 \newline x & = & -5t^2 + 12t - 4 \end{array} $$

yang merupakan fungsi posisi. Dengan demikian dapat diresumekan

$$ \begin{array}{rcl} a & = & -10, \newline v & = & -10t + 12, \newline x & = & -5t^2 + 12t - 4, \end{array} $$

bila $v(1) = 2$ dan $x(1) = 3$. Dengan melakukan diferensial terhadap waktu $t$ pada $x$ akan diperoleh $v$, dan saat diterapkan pada $v$ akan diperoleh $a$. Langkah terakhir ini adalah hanya sekedar untuk memastikan bahwa solusi yang diperoleh sesuai dengan fungsi percepatan yang diberikan.

note

Birne Binegar, “Lecture 7: Constant of Integration and Initial Conditions”, Math 2233 Differential Equations, Spring 1999, p. 29, url http://lie.math.okstate.edu/~binegar/2233/2233-l07.pdf [20211013].

position {% comment %} • {% endcomment %}