position velocity

Hubungan antara posisi dan kecepatan dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan-persaman gerak atau turunan kalkulus [ 1 ]. Analisa posisi, kecepatan, dan juga percepatan dapat dilakukan dengan turunan [ 2 ].

v from x

Dengan menggunakan diferensial

\begin{equation}\label{eqn-1} v = \frac{dx}{dt}, \end{equation}

yang menggambarkan bagaimana informasi fungsi kecepatan $v$ dapat diperoleh dari fungsi posisi $x$, di mana keduanya merupakan fungsi dari waktu $t$. Sebagai contoh bila terdapat fungsi posisi

$$ x = -t^4 + 4t^2 - 10t + 2, $$

maka akan diperoleh

$$ v = -4t^3 + 8t - 10, $$

yang merupakan fungsi kecepatannya. Terkadang untuk menunjukkan bahwa posisi dan kecepatan merupakan fungsi dari waktu $t$ secara eksplisit, keduanya dituliskan sebagai $x(t)$ dan $v(t)$.

x from v

Dengan menggunakan integral

\begin{equation}\label{eqn-2} x - x_0 = \int_{t_0}^t v \ dt. \end{equation}

Perhatikan urutan dari fungsi posisi $x$ pada ruas kiri, yaitu $x = x(t)$ dan $x_0 = x(t_0)$, terkait dengan batas bawah dan batas atas integral pada ruas kanan, yaitu $t_0$ dan $t$. Sebagai ilustrasi, suatu benda bergerak dengan fungsi kecepatan

$$ v = 3t^2 - 2t + 10 $$

dan memiliki syarat awal $x(2) = 24$ (atau saat $t_0 = 2$, $x_0 = 24$), maka

$$ \require{cancel} \begin{array}{rcl} x - x(2) & = & \displaystyle \int_2^t (3t^2 - 2t + 10) \ dt \newline & = & \displaystyle \left[ t^3 - t^2 + 10t \right]_2^t \newline & = & (t^3 - t^2 + 10t) - (2^3 - 2^2 + 10 \cdot 2) \newline & = & (t^3 - t^2 + 10t) - (8 - 4 + 20) \newline & = & (t^3 - t^2 + 10t) - 24 \newline & = & t^3 - t^2 + 10t - 24 \newline x - 24 & = & t^3 - t^2 + 10t - 24 \newline x & = & t^3 - t^2 + 10t - \cancel{24} + \cancel{24} \newline & = & t^3 - t^2 + 10t \end{array} $$

adalah fungsi posisinya.

note

Glenn Elert, “Equations of Motion”, The Physics Hypertextbook, 2021, url https://physics.info/motion-equations/ [20211012].
-, “How to Analyze Position, Velocity, and Acceleration with Differentiation”, Dummies, John Wiley & Sons, Inc., 2021, url https://www.dummies.com/education/math/calculus/how-to-analyze-position-velocity-and-acceleration-with-differentiation/ [20211012].

position {% comment %} • {% endcomment %}