displacement 1d

Perpindahan suatu benda didefinisikan sebagai suatu vektor yang mengarah mulai dari suatu posisi awal (inisial) ke suatu posisi akhir (final) [ 1 ].

formula

Untuk kasus 1-d perpindahan dihitung menggunakan

\begin{equation}\label{eqn-01} \Delta x_{i-f} = x_f - x_i, \end{equation}

yang dapat bernilai positif ataupun negatif karena perpindahan merupakan besaran vektor, dengan indeks $i$ berarti awal (inisial) dan indeks $f$ berarti akhir (final).

1-d motion

Gambar 1 berikut memberikan ilustrasi gerak benda dalam 1-d. Abaikan keberadaan sumbu $y$ karena selama benda bergerak, ia terus menempel dengan lantai sehingga hal ini merupakan gerak dalam 1-d.

Gambar 1. Gerak benda dalam 1-d yang melibatkan gerak maju ($v$ ke kanan, menuju $+x$) dan mundur ($v$ ke kiri, menuju $-x$).

Nilai indeks $i$ (inisial) dan $f$ (final) dalam Persamaan \eqref{eqn-01} disesuaikan dengan kasus yang dibahas, misalnya untuk Gambar 1 dapat

Untuk melengkapi informasi Gambar 1 , berikut adalah data informasi waktunya.

$n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 $t_n \ \rm (s)$ | 0 | 6 | 10 | 22 | 30 | 34 $x_n \ \rm (m)$ | 2 | 8 | 16 | 4 | 12 | 4

Posisi $x$ dalam tabel di atas hanya merupakan informasi berulang karena nilai-nilainya sudah dapat dibaca pada Gambar 1 . Untuk seluruh variasi yang mungkin dapat dituliskan nilai-nilai perpindahan antara waktu inisial $t = t_i$ dan waktu final $t = t_f$, dengan dengan $t_i < t_f$.

$\Delta x_{\rm i-f}$ | $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ | $x_4$ | $x_5$ | $x_6$ $x_1$ | 0 | 6 | 14 | 2 | 10 | 2 $x_2$ | - | 0 | 8 | -4 | 4 | 0 $x_3$ | - | - | 0 | -12 | -4 | -12 $x_4$ | - | - | - | 0 | 8 | 0 $x_5$ | - | - | - | - | 0 | -8 $x_6$ | - | - | - | - | - | 0

Bagian sel pada tabel yang berisi - adalah untuk kondisi yang tidak mungkin, yaitu $t_i > t_f$. Sebagai contoh perpindahan antara $t = t_3 dan $t = t_6$ adalah

$$ \Delta x _{3-6} = x_6 - x_3 = 4 - 16 = -12, $$

yang dapat ditemukan dalam tabel terakhir pada baris 4 dan kolom 7 (atau perpotongan baris $x_3$ dengan kolom $x_6$). Selain itu Gambar 1 sebelumnya dapat pula digunakan untuk menghitung perpindahan dengan menempatkan benda pada $t_i$ (tanpa warna, garis putus-putus) dan benda pada $t_f$ (berwarna biru muda, garis utuh) dan menggambarkan vektor dari $x_i$ ke $x_f$ sebagaimana diberikan dalam Gambar 2 berikut.

Gambar 2. Perpindahan $\Delta t_{i-f}$ untuk berbagai waktu awal (inisial) $t_i$ dan waktu akhir (final) $t_f$.

Hasil dalam Gambar 2 dapat kembali dikonfirmasi dengan nilai-nilai dalam tabel sebelumnya.

x-t graph

Informasi waktu dan posisi dari tabel kedua atau tabel terakhir dapat disajikan seperti Gambar 3 berikut.

Gambar 3. Grafik posisi $x$ sebagai fungsi waktu $t$, dengan satu kotak berarti $4 \ {\rm s} \times 2 \ {\rm m}$.

Yang ditampikal pada Gambar 3 merupakan representasi lain dari Gambar 1 , di mana semua posisi ditangkap dalam satu gambar dengan adanya indeks waktu $t$ sebagai sumbu mendatarnya dan posisi $x$ sebagai sumbu tegaknya. Mirip dengan cara pada Gambar 2 , informasi pada Gambar 3 ini pun dapat digunakan untuk mendapatkan perpindahan $\Delta_{i-f}$ dari waktu awal (inisial) $t = t_i$ sampai waktu akhir (final) $t = t_f$. Persamaan \eqref{eqn-01} kembali digunakan dan vektor digambarkan dari $x_i$ ke $x_f$ sebagaimana dalam Gambar 4 berikut.

Gambar 4. Perpindahan $\Delta_{i-f}$ diperoleh dari grafik $x-t$, untuk berbagai waktu awal (inisial) $t_i$ dan waktu akhir (final) $t_f$.

Hasil-hasil dalam Gambar 4 dapat dikonfirmasi dengan Gambar 2 dan hasil perhitungan dalam tabel kedua.

v-t graph

Dengan mencari kemiringan garis pada setiap selang $t_n$ dan $t_{n+1}$ dapat diperoleh grafik kecepatan $v$ terhadap waktu $t$ yang diberikan oleh Gambar 5 .

Gambar 5. Grafik kecepatan $v$ sebagai fungsi waktu $t$, dengan satu kotak berarti $4 \ {\rm s} \times 1 \ {\rm m/s}$.

Dengan menghitung luas di bawah kurva, yang dapat bernilai positif maupun negatif, mulai dari $t = t_i$ sampai $t = t_f$ akan dapat diperoleh nilai perpindahan $\Delta t_{i-f}$.

{% comment %} 3-6, 1-6, 1-5, 3-4 {% endcomment %}

Gambar 6. Perpindahan $\Delta x_{i-f}$ dengan menghitung luas di bahwa kurva mulai dari $t = t_i$ sampai $t = t_f$.

Kembali hasil Gambar 6 dapat dikonfirmasi dengan hasil perhitungan pada tabel kedua atau Gambar 2 dan Gambar 4 .

another v-t graph

Grafik $v-t$ tidaklah harus berbentuk hanya garis mendatar, akan tetapi dapat juga garis dengan kemiringan tertentu seperti pada Gambar 7 berikut, di mana untuk saat ini yang hanya perlu menghitung luas di bawah kurva, cara menentukan perpindahan $\Delta x_{i-f}$ tetaplah sama dan tidak bergantung dari bentuk kurvanya.

Gambar 7. Grafik $v-t$ dengan hanya kecepatan tetap (kiri) dan bila terdapat pula percepatan (kanan).

Total perpindahan dari kedua grafik $v-t$ dalam Gambar 7 adalah nol, yaitu dengan menghitung luas di bawah kurva untuk $t = 0 \ \rm s$ sampai $t = 10 \ \rm s$ untuk bagian kiri dan $t = 0 \ \rm s$ sampai $t = 9 \ \rm s$ untuk bagian kanan.

exer

1. Dengan menggunakan Gambar 6 jelaskan mengapa perpindahan $\Delta x_{3-6}$ dan $\Delta x_{3-4}$ memberikan hasil yang sama?

note

1. Carl. R. Nave, “Displacement”, HyperPhysics, Georgia State University, USA, 2017, url http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/posit.html#c2 [20211006].

meter • length • position • relative position • displacement 2d • distance 2d • distance 1d {% comment %} • {% endcomment %}