GHS: Syarat Awal Simpangan dan Kecepatan Tertentu

Solusi persamaan gerak sistem GHS berbentuk

$$\tag{1} x = A \sin (\omega t + \varphi_0)$$

memerlukan dua syarat awal saat $t = t_0$, yaitu $x(t_0) = x_0$ dan $v(t_0) = v_0$, yang untuk memudahkan dipilih $t_0 = 0$.

Benda, massa yang terikat pegas atau bandul yang terikat tali, pada posisi tertentu $x_0 = 0$ diberi kecepatan awal $v_0$ saat t = $0$, maka dari Persamaan (1) dapat diperoleh

$$\tag{2} \begin{array}{rcl} x & = & A \sin (\omega t + \varphi_0) \newline x(0) & = & A \sin (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline x_0 & = & A \sin \varphi_0 \end{array}$$

dan dari turunan Persamaan (1) terhadap waktu $t$ diperoleh

$$\tag{3} \begin{array}{rcl} v & = & \omega A \cos (\omega t + \varphi_0) \newline v(0) & = & \omega A \cos (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline v_0 & = & \omega A \cos \varphi_0. \end{array}$$

Terdapat dua persamaan, yaitu Persamaan (2) dan (3) dan dua parameter yang tidak diketahui, yaitu $A$ dan $\varphi_0$, yang seharusnya dapat diperoleh.

Persamaan (2) dibagi Persamaan (3) akan memberikan

$$\tag{4} \tan \varphi_0 = \frac{x_0}{v_0/\omega} = \frac{\omega x_0}{v_0},$$

$$\tag{5} \sin \varphi_0 = \frac{\omega x_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}},$$

$$\tag{6} \cos \varphi_0 = \frac{v_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}}.$$

Substitusi Persamaan (5) ke Persamaan (2) atau Persamaan (6) ke Persamaan (3) akan memberikan

$$\tag{7} \begin{array}{rcl} x_0 & = & \displaystyle A \ \frac{\omega x_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}} \newline &&\newline A & = & \displaystyle \frac{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}}{\omega} \newline & = & \sqrt{x_0^2 + (v_0 / \omega)^2}. \end{array}$$

Substitusi Persamaan (5) dan (7) ke Persamaan (1) akan memberikan

$$\tag{8} x = \left[ x_0^2 + \left( \frac{v_0}{\omega} \right)^2 \right]^{\frac12} \ \sin \left[ \omega t + \arcsin \left( \frac{\omega x_0}{\sqrt{\omega^2 x_0^2 + v_0^2}} \right) \right]$$

yang merupakan solusi khusus dari sistem GHS dengan syarat awal $x(0) = x_0$ dan $v(0) = v_0$.