GHS: Syarat Awal Simpangan Nol dengan Kecepatan Tertentu

Solusi persamaan gerak sistem GHS berbentuk

$$\tag{1} x = A \sin (\omega t + \varphi_0)$$

memerlukan dua syarat awal saat $t = t_0$, yaitu $x(t_0) = x_0$ dan $v(t_0) = v_0$, yang untuk memudahkan dipilih $t_0 = 0$.

Benda, massa yang terikat pegas atau bandul yang terikat tali, pada posisi kesetimbangannya atau $x_0 = 0$ diberi kecepatan awal $v_0$ saat $t = 0$, maka dari Persamaan (1) dapat diperoleh

$$\tag{2} \begin{array}{rcl} x & = & A \sin (\omega t + \varphi_0) \newline x(0) & = & A \sin (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline 0 & = & A \sin \varphi_0 \end{array}$$

dan dari turunan Persamaan (1) terhadap waktu $t$ diperoleh

$$\tag{3} \begin{array}{rcl} v & = & \omega A \cos (\omega t + \varphi_0) \newline v(0) & = & \omega A \cos (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline v_0 & = & \omega A \cos \varphi_0. \end{array}$$

Dari dikarenakan $x_0 = 0$ maka dari Persamaan (2) diperoleh $\varphi_0 = n \pi$ dengan $n = 0, 1, 2, ..$. Bila dipih $n = 0$, diperoleh $\varphi_0 = 0$, sehingga Persamaan (3) akan menjadi

$$\tag{4} \begin{array}{rcl} v_0 & = & \omega A \cos 0 \newline & = & \omega A, \end{array}$$

yang memberikan nilai amplitudo $A = v_0 / \omega$. Dengan hasil dari Persamaan (4), Persamaan (1) dapat dituliskan kembali menjadi

$$\tag{5} x = \frac{v_0}{\omega} \sin \omega t,$$

yang merupakan solusi khusus dari sistem GHS dengan syarat awal $x(0) = 0$ dan $v(0) = v_0$.