GHS: Syarat Awal Simpangan Tertentu dan Kecepatan Nol

Solusi persamaan gerak sistem GHS berbentuk

$$\tag{1} x = A \sin (\omega t + \varphi_0)$$

memerlukan dua syarat awal saat $t = t_0$, yaitu $x(t_0) = x_0$ dan $v(t_0) = v_0$, yang untuk memudahkan dipilih $t_0 = 0$.

Benda, massa yang terikat pegas atau bandul yang terikat tali, diberi simpangan awal $x_0$ dan dilepas tanpa kecepatan awal atau $v_0 = 0$ saat $t = 0$, maka dari Persamaan (1) dapat diperoleh

$$\tag{2} \begin{array}{rcl} x & = & A \sin (\omega t + \varphi_0) \newline x(0) & = & A \sin (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline x_0 & = & A \sin \varphi_0 \end{array}$$

dan dari turunan Persamaan (1) terhadap waktu $t$ diperoleh

$$\tag{3} \begin{array}{rcl} v & = & \omega A \cos (\omega t + \varphi_0) \newline v(0) & = & \omega A \cos (\omega \cdot 0 + \varphi_0) \newline v_0 & = & \omega A \cos \varphi_0. \end{array}$$

Dari dikarenakan $v_0 = 0$ maka dari Persamaan (3) diperoleh $\varphi_0 = (n + \tfrac12) \pi$ dengan $n = 0, 1, 2, ..$. Bila dipih $n = 0$, diperoleh $\varphi_0 = \tfrac12 \pi$, sehingga Persamaan (2) akan menjadi

$$\tag{4} \begin{array}{rcl} x_0 & = & A \sin \tfrac12 \pi \newline & = & A, \end{array}$$

yang memberikan nilai amplitudo $A$. Dengan hasil dari Persamaan (4), Persamaan (1) dapat dituliskan kembali menjadi

$$\tag{5} x = x_0 \sin (\omega t + \tfrac12 \pi),$$

yang merupakan solusi khusus dari sistem GHS dengan syarat awal $x(0) = x_0$ dan $v(0) = 0$.