Proses Linier (Ekspansi dan Pendinginan)

Suatu gas ideal mengalami pendinginan dan ekspansi sekaligus sehingga membentuk suatu proses linier dari keadaan awal $(p_i, V_i, T_i)$ ke keadaan akhir $(p_f, V_f, T_f)$ dengan $p_f = \frac1x p_i$, $V_f = y V_i$, dan $T_f = \frac1z T_i$, di mana $x > 1$, $y > 1$, $z > 1$. Indeks $i$ berarti inisial (awal) dan $f$ berarti final (akhir)

• Tunjukkan bahwa hukum gas ideal berlaku untuk proses dari titik $i$ ke titik $f$ ini dengan berikan hubungan antara $x$, $y$, dan $z$
• Hitunglah usaha proses ini, $W_{i \rightarrow f}$.
• Hitunglah perubahan energi dalam proses ini, $\Delta U_{i \rightarrow f}$.
• Hitunglah kalor proses ini, $Q_{i \rightarrow f}$, menggunakan hukum I termodinamika.

$pV = nRT$ Link to heading

Untuk titik $i$ dan $f$ dapat diperoleh

$$\begin{array}{rcl} nR & = & \displaystyle \frac{p_f V_f}{T_f} \newline & = & \displaystyle \frac{(\frac1x p_i) (y V_i)}{(\frac1z T_i)} \newline & = & \displaystyle \left( \frac{y}{xz} \right) \frac{p_i V_i}{T_i}, \end{array}$$

di mana dengan $n$ tetap dan

$$\frac{y}{xz} = 1$$

maka hukum gas ideal terpenuhi.

$W_{i \rightarrow f}$ Link to heading

Usaha untuk proses dari titik $i$ ke titik $f$

$$\begin{array}{rcl} W & = & \displaystyle \int p dV \newline W_{i \rightarrow f} & = & \displaystyle \int_{V_i}^{V_f} p \ dV \newline & = & \frac12 (p_i + p_f) (V_f - V_i) \end{array}$$

karena merupakan luas suatu trapesium dengan tinggi sisi kiri dan kanan adalah $p_f$ dan $p_i$, yang akan memberikan luas positif karena $V_f > V_i$.

Dari persamaan-persamaan sebelumnya dapat dituliskan pula

$$\begin{array}{rcl} W_{i \rightarrow f} & = & \tfrac12 (p_i + p_f) (V_f - V_i) \newline & = & \tfrac12 (1 + \frac1x) p_i (y - 1) V_i \newline & = & \displaystyle \tfrac12 \left( \frac{x + 1}{x} \right)(y - 1) p_i V_i \newline & = & \displaystyle \tfrac12 \frac{(x + 1)(y - 1)}{x} p_i V_i \newline & = & \displaystyle \frac{(x + 1)(y - 1)}{2x} n R T_i \end{array}$$

atau

$$\begin{array}{rcl} W_{i \rightarrow f} & = & \tfrac12 (p_i + p_f) (V_f - V_i) \newline & = & \displaystyle \tfrac12 (x + 1) p_f \left( 1 - \frac1y \right) V_f \newline & = & \displaystyle \tfrac12 (x + 1) \left( \frac{y - 1}{y} \right) p_f V_f \newline & = & \displaystyle \frac{(x + 1)(y -1)}{2y} n R T_f. \end{array}$$

$\Delta U_{i \rightarrow f}$ Link to heading

Perubahan energi dalam untuk proses dari titik $i$ ke titik $f$

$$\begin{array}{rcl} \Delta U & = & n c_V \Delta T \newline \Delta U_{i \rightarrow f} & = & n c_V (T_f - T_i). \end{array}$$

$Q = \Delta U + W$ Link to heading

Dari persamaan-persamaan sebelumnya dapat dituliskan

$$\begin{array}{rcl} Q_{i \rightarrow f} & = & \Delta U_{i \rightarrow f} + W_{i \rightarrow f} \newline & = & \displaystyle n c_V (T_f - T_i) + \frac{(x + 1)(y - 1)}{2x} n R T_i \newline & = & \displaystyle n c_V (T_f - T_i) + \frac{(x + 1)(y -1)}{2y} n R T_f. \end{array}$$