Suatu gas ideal mengalami pendinginan dan kompresi sekaligus sehingga membentuk suatu proses linier dari keadaan awal $(p_i, V_i, T_i)$ ke keadaan akhir $(p_f, V_f, T_f)$ dengan $p_f = x p_i$, $V_f = \frac1y V_i$, dan $T_f = \frac1z T_i$, di mana $x > 1$, $y > 1$, $z > 1$. Indeks $i$ berarti inisial (awal) dan $f$ berarti final (akhir)
- Tunjukkan bahwa hukum gas ideal berlaku untuk proses dari titik $i$ ke titik $f$ ini dengan berikan hubungan antara $x$, $y$, dan $z$
- Hitunglah usaha proses ini, $W_{i \rightarrow f}$.
- Hitunglah perubahan energi dalam proses ini, $\Delta U_{i \rightarrow f}$.
- Hitunglah kalor proses ini, $Q_{i \rightarrow f}$, menggunakan hukum I termodinamika.
$pV = nRT$ Link to heading
Untuk titik $i$ dan $f$ dapat diperoleh
$$ \begin{array}{rcl} nR & = & \displaystyle \frac{p_f V_f}{T_f} \newline & = & \displaystyle \frac{(x p_i) (\frac1y V_i)}{(\tfrac1z T_i)} \newline & = & \displaystyle \left( \frac{xz}{y} \right) \frac{p_i V_i}{T_i}, \end{array} $$
di mana dengan $n$ tetap dan
$$ \frac{xz}{y} = 1 $$
maka hukum gas ideal terpenuhi.
$W_{i \rightarrow f}$ Link to heading
Usaha untuk proses dari titik $i$ ke titik $f$
$$ \begin{array}{rcl} W & = & \displaystyle \int p dV \newline W_{i \rightarrow f} & = & \displaystyle \int_{V_i}^{V_f} p \ dV \newline & = & \frac12 (p_i + p_f) (V_f - V_i) \end{array} $$
karena merupakan luas suatu trapesium dengan tinggi sisi kiri dan kanan adalah $p_f$ dan $p_i$, yang akan memberikan luas negatif karena $V_f < V_i$.
Dari persamaan-persamaan sebelumnya dapat dituliskan pula
$$ \begin{array}{rcl} W_{i \rightarrow f} & = & \tfrac12 (p_i + p_f) (V_f - V_i) \newline & = & \displaystyle \tfrac12 (1 + x) p_i \left( \frac1y - 1 \right) V_i \newline & = & \displaystyle \tfrac12 \frac{(1 + x)(1 - y)}{y} p_i V_i \newline & = & \displaystyle \frac{(1 + x)(1 - y)}{2y} n R T_i \end{array} $$
atau
$$ \begin{array}{rcl} W_{i \rightarrow f} & = & \tfrac12 (p_i + p_f) (V_f - V_i) \newline & = & \displaystyle \tfrac12 \left( \frac1x + 1 \right) p_f (1 - y) V_f \newline & = & \displaystyle \tfrac12 \frac{(1 + x)(1 - y)}{x} p_f V_f \newline & = & \displaystyle \frac{(1 + x)(1 - y)}{2x} n R T_f. \end{array} $$
$\Delta U_{i \rightarrow f}$ Link to heading
Perubahan energi dalam untuk proses dari titik $i$ ke titik $f$
$$ \begin{array}{rcl} \Delta U & = & n c_V \Delta T \newline \Delta U_{i \rightarrow f} & = & n c_V (T_f - T_i). \end{array} $$
$Q = \Delta U + W$ Link to heading
Dari persamaan-persamaan sebelumnya dapat dituliskan
$$ \begin{array}{rcl} Q_{i \rightarrow f} & = & \Delta U_{i \rightarrow f} + W_{i \rightarrow f} \newline & = & \displaystyle n c_V (T_f - T_i) + \frac{(1 + x)(1 - y)}{2y} n R T_i \newline & = & \displaystyle n c_V (T_f - T_i) + \frac{(1 + x)(1 - y)}{2x} n R T_f. \end{array} $$