Secara umum untuk gerobak berpendulum dapat dimodelkan secara sederhana
$$\tag{1} \Delta x = f(\theta_0, L, m), $$
dengan adalah $\Delta x$ perpindahan, $\theta_0$ sudut awal ayunan bandul saat $t = 0$, $L$ panjang lengan bandul, dan $m$ massa kepala bandul. Dengan menggunakan proyeksi gerak bandul pada arah horisontal dan titik pusat massa sistem dua benda, dapat diperoleh
$$\tag{2} x_{\rm pm} = \left( \frac{m}{M} \right) \{ x_c + L \sin [ \theta_0 \sin (\omega t - \tfrac12 \pi) ] \}+ \left( \frac{M - m}{M} \right) x $$
yang merupakan titik pusat massa suatu gerobak pendulum bermassa total $M$ dan $x$ adalah posisi basis (bagian sistem selain bandul).
Kecepatan pusat massa akan menjadi
$$\tag{3} 0 = \left( \frac{m}{M} \right) \omega L \cos (\omega t - \tfrac12 \pi) \cos [ \theta_0 \sin (\omega t - \tfrac12 \pi) ] + \left( \frac{M - m}{M} \right) v, $$
dikarenakan tidak ada gaya eksternal yang bekerja pada sistem gerobak. Selanjutnya dapat diperoleh
$$\tag{4} v = -\left( \frac{m}{M - m} \right) \omega L \cos (\omega t - \tfrac12 \pi) \cos [ \theta_0 \sin (\omega t - \tfrac12 \pi) ]. $$
Saat $t = 0$ diperoleh $v = 0$ yang menggambarkan gerobak mulai akan berjalan. Berikutnya menentukan saat kapan $v = 0$ kembali, sebelum bernilai negatif. Hal ini dapat diperoleh dengan
$$\tag{5} \begin{array}{rcl} \omega t - \tfrac12 \pi & = & (n - \tfrac12) \pi \newline \omega t & = & n\pi \newline \displaystyle \frac{2\pi}{T} t & = & \newline t & = & \tfrac12 n T \end{array} $$
dengan $n = 0, 1, 2, 3, \dots$, akan memberikan $t = 0, \tfrac12 T, T, \tfrac32 T, \dots$. Kecepatan positif diperoleh saat
$$\tag{6} \begin{array}{rcl} \omega t - \tfrac12 \pi & = & (2n + \tfrac34) \pi \newline \omega t & = & 2(n + \tfrac58)\pi \newline \displaystyle \frac{2\pi}{T} t & = & \newline t & = & (n + \tfrac58) T \end{array} $$
dan
$$\tag{7} \begin{array}{rcl} \omega t - \tfrac12 \pi & = & (2n + \tfrac54) \pi \newline \omega t & = & 2(n + \tfrac78)\pi \newline \displaystyle \frac{2\pi}{T} t & = & \newline t & = & (n + \tfrac78) T \newline & = & (n + \tfrac78) T. \end{array} $$
Dari ketiga persamaan sebelumnya kecepatan positif hanya akan terjadi untuk $nT \le t < (n + \tfrac12)T$. Bila diterapkan rem sehingga benda hanya bisa bergerak maju, maka kecepatan benda akan menjadi
$$\tag{8} v = \left\{ \begin{array}{cc} \displaystyle -\left( \frac{m \omega L}{M - m} \right) \cos (\omega t - \tfrac12 \pi) & \newline \cdot \cos [ \theta_0 \sin (\omega t - \tfrac12 \pi) ], & nT < t < (n + \tfrac12)T, \newline & \newline 0, & (n + \tfrac12) T < t \le (n + 1)T. \end{array} \right. $$
Dengan demikian dapat diperoleh
$$\tag{9} x = \left\{ \begin{array}{cc} \displaystyle x_n - \left( \frac{m}{M - m} \right) \cdot & \newline \{ x_c + L \sin [ \theta_0 \sin (\omega t - \tfrac12 \pi) ] \}, & nT < t < (n + \tfrac12)T, \newline & \newline \displaystyle x_{0n} - \left( \frac{m}{M - m} \right) (x_c + L \sin \theta_0), & (n + \tfrac12) T < t \le (n + 1)T. \end{array} \right. $$
yang merupakan posisi gerobak dalam satu periode, di mana
$$\tag{10} x_n = x_c + n \left( \frac{m}{M - m} \right) (x_c + L \sin \theta_0) $$
adalah posisi akhir gerobak untuk suatu periode ayunan dan merupakan posisi awal gerobak untuk ayunan berikutnya.