Gerak Maju-Mundur Gerobak Berpendulum

bacaan 3 menit
Sparisoma Viridi
idea • rbl • model

Secara umum untuk gerobak berpendulum dapat dimodelkan secara sederhana

Δx=f(θ0,L,m),(1)\tag{1} \Delta x = f(\theta_0, L, m),

dengan adalah Δx\Delta x perpindahan, θ0\theta_0 sudut awal ayunan bandul saat t=0t = 0, LL panjang lengan bandul, dan mm massa kepala bandul. Dengan menggunakan proyeksi gerak bandul pada arah horisontal dan titik pusat massa sistem dua benda, dapat diperoleh

xpm=(mM){xc+Lsin⁡[θ0sin⁡(ωt−12π)]}+(M−mM)x(2)\tag{2} x_{\rm pm} = \left( \frac{m}{M} \right) \{ x_c + L \sin [ \theta_0 \sin (\omega t - \tfrac12 \pi) ] \}+ \left( \frac{M - m}{M} \right) x

yang merupakan titik pusat massa suatu gerobak pendulum bermassa total MM dan xx adalah posisi basis (bagian sistem selain bandul).

Kecepatan pusat massa akan menjadi

0=(mM)ωLcos⁡(ωt−12π)cos⁡[θ0sin⁡(ωt−12π)]+(M−mM)v,(3)\tag{3} 0 = \left( \frac{m}{M} \right) \omega L \cos (\omega t - \tfrac12 \pi) \cos [ \theta_0 \sin (\omega t - \tfrac12 \pi) ] + \left( \frac{M - m}{M} \right) v,

dikarenakan tidak ada gaya eksternal yang bekerja pada sistem gerobak. Selanjutnya dapat diperoleh

v=−(mM−m)ωLcos⁡(ωt−12π)cos⁡[θ0sin⁡(ωt−12π)].(4)\tag{4} v = -\left( \frac{m}{M - m} \right) \omega L \cos (\omega t - \tfrac12 \pi) \cos [ \theta_0 \sin (\omega t - \tfrac12 \pi) ].

Saat t=0t = 0 diperoleh v=0v = 0 yang menggambarkan gerobak mulai akan berjalan. Berikutnya menentukan saat kapan v=0v = 0 kembali, sebelum bernilai negatif. Hal ini dapat diperoleh dengan

ωt−12π=(n−12)πωt=nπ2πTt=t=12nT(5)\tag{5} \begin{array}{rcl} \omega t - \tfrac12 \pi & = & (n - \tfrac12) \pi \newline \omega t & = & n\pi \newline \displaystyle \frac{2\pi}{T} t & = & \newline t & = & \tfrac12 n T \end{array}

dengan n=0,1,2,3,…n = 0, 1, 2, 3, \dots, akan memberikan t=0,12T,T,32T,…t = 0, \tfrac12 T, T, \tfrac32 T, \dots. Kecepatan positif diperoleh saat

ωt−12π=(2n+34)πωt=2(n+58)π2πTt=t=(n+58)T(6)\tag{6} \begin{array}{rcl} \omega t - \tfrac12 \pi & = & (2n + \tfrac34) \pi \newline \omega t & = & 2(n + \tfrac58)\pi \newline \displaystyle \frac{2\pi}{T} t & = & \newline t & = & (n + \tfrac58) T \end{array}

dan

ωt−12π=(2n+54)πωt=2(n+78)π2πTt=t=(n+78)T=(n+78)T.(7)\tag{7} \begin{array}{rcl} \omega t - \tfrac12 \pi & = & (2n + \tfrac54) \pi \newline \omega t & = & 2(n + \tfrac78)\pi \newline \displaystyle \frac{2\pi}{T} t & = & \newline t & = & (n + \tfrac78) T \newline & = & (n + \tfrac78) T. \end{array}

Dari ketiga persamaan sebelumnya kecepatan positif hanya akan terjadi untuk nT≤t<(n+12)TnT \le t < (n + \tfrac12)T. Bila diterapkan rem sehingga benda hanya bisa bergerak maju, maka kecepatan benda akan menjadi

v={−(mωLM−m)cos⁡(ωt−12π)⋅cos⁡[θ0sin⁡(ωt−12π)],nT<t<(n+12)T,0,(n+12)T<t≤(n+1)T.(8)\tag{8} v = \left\{ \begin{array}{cc} \displaystyle -\left( \frac{m \omega L}{M - m} \right) \cos (\omega t - \tfrac12 \pi) & \newline \cdot \cos [ \theta_0 \sin (\omega t - \tfrac12 \pi) ], & nT < t < (n + \tfrac12)T, \newline & \newline 0, & (n + \tfrac12) T < t \le (n + 1)T. \end{array} \right.

Dengan demikian dapat diperoleh

x={xn−(mM−m)⋅{xc+Lsin⁡[θ0sin⁡(ωt−12π)]},nT<t<(n+12)T,x0n−(mM−m)(xc+Lsin⁡θ0),(n+12)T<t≤(n+1)T.(9)\tag{9} x = \left\{ \begin{array}{cc} \displaystyle x_n - \left( \frac{m}{M - m} \right) \cdot & \newline \{ x_c + L \sin [ \theta_0 \sin (\omega t - \tfrac12 \pi) ] \}, & nT < t < (n + \tfrac12)T, \newline & \newline \displaystyle x_{0n} - \left( \frac{m}{M - m} \right) (x_c + L \sin \theta_0), & (n + \tfrac12) T < t \le (n + 1)T. \end{array} \right.

yang merupakan posisi gerobak dalam satu periode, di mana

xn=xc+n(mM−m)(xc+Lsin⁡θ0)(10)\tag{10} x_n = x_c + n \left( \frac{m}{M - m} \right) (x_c + L \sin \theta_0)

adalah posisi akhir gerobak untuk suatu periode ayunan dan merupakan posisi awal gerobak untuk ayunan berikutnya.